与えられた式 $(a+b+c)(bc+ca+ab) - abc$ を展開して整理する。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)(bc+ca+ab) - abc$ を展開して整理する。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b+c)(bc+ca+ab)$ を展開する。

$$(a+b+c)(bc+ca+ab) = a(bc+ca+ab) + b(bc+ca+ab) + c(bc+ca+ab)$$

$$= abc + a^2c + a^2b + b^2c + abc + ab^2 + bc^2 + c^2a + abc$$

$$= 3abc + a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2$$

次に、この結果から $abc$ を引く。

$$(a+b+c)(bc+ca+ab) - abc = 3abc + a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 - abc$$

$$= 2abc + a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2$$

最後に、式を整理して、より一般的な形式で表現する。

$$a^2b + a^2c + ab^2 + 2abc + ac^2 + b^2c + bc^2 = a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b) + 2abc$$

あるいは、因数分解を行って、

$$(a+b)(b+c)(c+a)$$

となる。

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$