与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1/3 & 2/3 & 2/3 \\ 2/3 & a & b \\ 2/3 & b & c \end{pmatrix}$ が直交行列となるような定数 $a, b, c$ を求め、直交行列の行列式が $1$ または $-1$ であることを示す。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1/3 & 2/3 & 2/3 \\ 2/3 & a & b \\ 2/3 & b & c \end{pmatrix}$ が直交行列となるような定数 $a, b, c$ を求め、直交行列の行列式が $1$ または $-1$ であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ が直交行列である条件は、$AA^T = A^TA = I$ を満たすことである。ここで、$I$ は単位行列である。つまり、$A$ の各列ベクトルは互いに直交し、各列ベクトルの大きさは $1$ である。

まず、各列の大きさは1であることから、以下の式が得られる。

$\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9} = \frac{9}{9} = 1$

$\left(\frac{2}{3}\right)^2 + a^2 + b^2 = 1$

$\left(\frac{2}{3}\right)^2 + b^2 + c^2 = 1$

つまり、

$a^2 + b^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$b^2 + c^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

次に、列ベクトルが互いに直交するという条件から、以下の式が得られる。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot a + \frac{2}{3} \cdot b = 0$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot b + \frac{2}{3} \cdot c = 0$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} + a \cdot b + b \cdot c = 0$

これを整理すると、

$2 + 6a + 6b = 0 \implies a + b = -\frac{1}{3}$

$2 + 6b + 6c = 0 \implies b + c = -\frac{1}{3}$

$\frac{4}{9} + ab + bc = 0 \implies ab + bc = -\frac{4}{9}$

$a + b = -\frac{1}{3}$ と $b + c = -\frac{1}{3}$ より、$a = c$。

$a = c$ を $b^2 + c^2 = \frac{5}{9}$ に代入すると、$b^2 + a^2 = \frac{5}{9}$ となる。これは、$a^2 + b^2 = \frac{5}{9}$ と一致する。

また、$ab + bc = -\frac{4}{9}$ に $a = c$ を代入すると、$ab + ba = 2ab = -\frac{4}{9} \implies ab = -\frac{2}{9}$

$a + b = -\frac{1}{3}$ より、$b = -\frac{1}{3} - a$。これを $ab = -\frac{2}{9}$ に代入すると、

$a\left(-\frac{1}{3} - a\right) = -\frac{2}{9} \implies -\frac{1}{3}a - a^2 = -\frac{2}{9} \implies a^2 + \frac{1}{3}a - \frac{2}{9} = 0$

$9a^2 + 3a - 2 = 0 \implies (3a + 2)(3a - 1) = 0 \implies a = -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}$

$a = -\frac{2}{3}$ のとき、$b = -\frac{1}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{3}$。 よって、$c = -\frac{2}{3}$。

$a = \frac{1}{3}$ のとき、$b = -\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$。 よって、$c = \frac{1}{3}$。

(2) 直交行列 $A$ の定義より、$A^T A = I$ が成り立つ。両辺の行列式を取ると、$\det(A^T A) = \det(I)$。

$\det(A^T A) = \det(A^T) \det(A) = \det(A) \det(A) = (\det(A))^2$。

$\det(I) = 1$。よって、$(\det(A))^2 = 1$。

したがって、$\det(A) = \pm 1$。

3. 最終的な答え

(1) $(a, b, c) = \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\right), \left(\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$

(2) 直交行列の行列式は $1$ または $-1$ である。