(1) $1 < a < b$ かつ $c > 1$ のとき、$log_a c > log_b c$ であることを示す。 (2) $log_3 2$, $log_9 5$, $log_{49} 25$ を小さい方から順に並べる。

1. 問題の内容

(1) $1 < a < b$ かつ $c > 1$ のとき、$log_a c > log_b c$ であることを示す。

(2) $log_3 2$, $log_9 5$, $log_{49} 25$ を小さい方から順に並べる。

2. 解き方の手順

(1)

底の変換公式を用いる。$log_a c = \frac{log_c c}{log_c a} = \frac{1}{log_c a}$、$log_b c = \frac{log_c c}{log_c b} = \frac{1}{log_c b}$

$1 < a < b$ より $log_c 1 < log_c a < log_c b$。$c > 1$ なので、$0 < log_c a < log_c b$。

したがって、$\frac{1}{log_c a} > \frac{1}{log_c b}$ より、$log_a c > log_b c$。

(2)

それぞれの対数を同じ底で表すことを考える。底を3に変換する。

$log_3 2$ はそのまま。

$log_9 5 = \frac{log_3 5}{log_3 9} = \frac{log_3 5}{2}$

$log_{49} 25 = \frac{log_3 25}{log_3 49} = \frac{log_3 5^2}{log_3 7^2} = \frac{2 log_3 5}{2 log_3 7} = \frac{log_3 5}{log_3 7}$

$log_3 2 < log_3 3 = 1$ である。

$log_3 5 > log_3 3 = 1$ である。

$log_3 5 \approx 1.46$

$log_3 7 \approx 1.77$

$log_9 5 = \frac{log_3 5}{2} \approx \frac{1.46}{2} = 0.73$

$log_{49} 25 = \frac{log_3 5}{log_3 7} \approx \frac{1.46}{1.77} \approx 0.82$

$log_3 2 < 1$ であり、$3^1 = 3 > 2$ なので、$log_3 2 < 1$

$log_9 5 = \frac{log_3 5}{2}$ であり、$log_3 5$ の値を評価する。

$3^{1.5} = 3 \sqrt{3} \approx 3 \times 1.732 = 5.196 > 5$ なので、$log_3 5 < 1.5$ よって、$log_9 5 < \frac{1.5}{2} = 0.75$

$log_{49} 25 = \frac{log_7 5}{log_7 7} = log_7 5$ であり、$7^1 = 7 > 5$ なので、$log_7 5 < 1$

$log_3 2 < log_9 5 < log_{49} 25$ を示す。

$log_3 2 \approx 0.63$

$log_9 5 \approx 0.73$

$log_{49} 25 \approx 0.82$

3. 最終的な答え

$log_3 2$, $log_9 5$, $log_{49} 25$ を小さい方から順に並べると、$log_3 2$, $log_9 5$, $log_{49} 25$ となる。