与えられた式 $1 - 2\sqrt{2\sqrt{2}} - \sqrt{2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}$ の値を計算します。

1. 問題の内容

与えられた式 $1 - 2\sqrt{2\sqrt{2}} - \sqrt{2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

まず、内側の根号を整理します。

$\sqrt{2\sqrt{2}} = \sqrt{2 \cdot 2^{1/2}} = \sqrt{2^{3/2}} = 2^{3/4}$

したがって、

$2\sqrt{2\sqrt{2}} = 2 \cdot 2^{3/4} = 2^{7/4}$

次に、外側の根号の中を整理します。

$\sqrt{2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}} = \sqrt{4\sqrt{2}} = \sqrt{4 \cdot 2^{1/2}} = \sqrt{2^2 \cdot 2^{1/2}} = \sqrt{2^{5/2}} = 2^{5/4}$

与えられた式は

$1 - 2^{7/4} - 2^{5/4} = 1 - 2^{5/4}(2^{2/4} + 1) = 1 - 2^{5/4}(\sqrt{2}+1)$

$2^{5/4} = 2 \cdot 2^{1/4} = 2 \sqrt[4]{2}$

したがって

$1 - 2\sqrt[4]{2}(\sqrt{2}+1) = 1 - 2(\sqrt[4]{2} \sqrt{2} + \sqrt[4]{2}) = 1 - 2(\sqrt[4]{8} + \sqrt[4]{2})$

しかし、画像の式は次のようにも解釈できます。

$1 - 2\sqrt{2i} - \sqrt{2i + 2i} = 1 - 2\sqrt{2i} - \sqrt{4i} = 1 - 2\sqrt{2i} - 2\sqrt{i}$

$\sqrt{i} = \frac{1+i}{\sqrt{2}}$

$\sqrt{2i} = \sqrt{2} \sqrt{i} = \sqrt{2} \frac{1+i}{\sqrt{2}} = 1+i$

$1 - 2(1+i) - 2(\frac{1+i}{\sqrt{2}}) = 1 - 2 - 2i - \sqrt{2}(1+i) = -1 - 2i - \sqrt{2} - \sqrt{2}i = -(1+\sqrt{2}) - (2+\sqrt{2})i$

問題文の式を

$1 - 2\sqrt{2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}$

と解釈すると、

$1 - 2\sqrt{2\sqrt{2}} - \sqrt{4\sqrt{2}} = 1 - 2\sqrt{2\sqrt{2}} - 2\sqrt{\sqrt{2}} = 1 - 2\sqrt{2\sqrt{2}} - 2\sqrt[4]{2}$

$2\sqrt{2\sqrt{2}} = 2\sqrt{2^{3/2}} = 2(2^{3/4}) = 2^{7/4} = 2\sqrt[4]{2^3} = 2\sqrt[4]{8}$

よって

$1 - 2\sqrt[4]{8} - 2\sqrt[4]{2}$

3. 最終的な答え

$1 - 2\sqrt[4]{8} - 2\sqrt[4]{2}$

または

$-(1+\sqrt{2}) - (2+\sqrt{2})i$