$x, y$ は実数であるとき、$2x^2 + 9y^2 \geq 6xy$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

1. 問題の内容

$x, y$ は実数であるとき、$2x^2 + 9y^2 \geq 6xy$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を変形し、平方完成を行うことを試みます。

$2x^2 + 9y^2 \geq 6xy$ を変形すると

$2x^2 - 6xy + 9y^2 \geq 0$

$2(x^2 - 3xy) + 9y^2 \geq 0$

$2(x - \frac{3}{2}y)^2 - 2(\frac{3}{2}y)^2 + 9y^2 \geq 0$

$2(x - \frac{3}{2}y)^2 - 2(\frac{9}{4}y^2) + 9y^2 \geq 0$

$2(x - \frac{3}{2}y)^2 - \frac{9}{2}y^2 + \frac{18}{2}y^2 \geq 0$

$2(x - \frac{3}{2}y)^2 + \frac{9}{2}y^2 \geq 0$

実数の二乗は常に0以上であるから、$2(x - \frac{3}{2}y)^2 \geq 0$ かつ $\frac{9}{2}y^2 \geq 0$ が成り立つ。よって、$2(x - \frac{3}{2}y)^2 + \frac{9}{2}y^2 \geq 0$ は常に成り立つ。

等号が成り立つのは、$2(x - \frac{3}{2}y)^2 = 0$ かつ $\frac{9}{2}y^2 = 0$ のときである。

$\frac{9}{2}y^2 = 0$ より、$y = 0$

$2(x - \frac{3}{2}y)^2 = 0$ より、$x - \frac{3}{2}y = 0$

$y = 0$ のとき、$x - \frac{3}{2}(0) = 0$ より、$x = 0$

3. 最終的な答え

$2x^2 + 9y^2 \geq 6xy$ は証明された。

等号が成り立つのは、$x = 0$ かつ $y = 0$ のとき。