ある放物線をx軸方向に-1, y軸方向に-3だけ平行移動し、更にx軸に関して対称移動したところ、放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ になった。元の放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

ある放物線をx軸方向に-1, y軸方向に-3だけ平行移動し、更にx軸に関して対称移動したところ、放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ になった。元の放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

元の放物線を $y = f(x)$ とする。

(1) x軸方向に-1, y軸方向に-3だけ平行移動すると、

$y - (-3) = f(x - (-1))$

$y + 3 = f(x+1)$

$y = f(x+1) - 3$ となる。

(2) 更にx軸に関して対称移動すると、

$-y = f(x+1) - 3$

$y = -f(x+1) + 3$ となる。

これが $y = x^2 - 2x + 2$ に等しいので、

$-f(x+1) + 3 = x^2 - 2x + 2$

$f(x+1) = -x^2 + 2x + 1$ となる。

$x+1 = t$ とおくと、$x = t-1$ となるので、

$f(t) = -(t-1)^2 + 2(t-1) + 1 = -(t^2 - 2t + 1) + 2t - 2 + 1 = -t^2 + 2t - 1 + 2t - 1 = -t^2 + 4t - 2$

したがって、元の放物線の方程式は

$y = -x^2 + 4x - 2$

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 4x - 2$