式 $(2x-3)(x-1) + (x-2)^2 - 1$ を因数分解してください。

##

6. (2) の問題

1. 問題の内容

式 $(2x-3)(x-1) + (x-2)^2 - 1$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$(2x-3)(x-1) = 2x^2 - 2x - 3x + 3 = 2x^2 - 5x + 3$

$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$

したがって、

$2x^2 - 5x + 3 + x^2 - 4x + 4 - 1 = 3x^2 - 9x + 6$

次に、3で括り出します。

$3x^2 - 9x + 6 = 3(x^2 - 3x + 2)$

最後に、$x^2 - 3x + 2$ を因数分解します。

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$

したがって、

$3(x^2 - 3x + 2) = 3(x-1)(x-2)$

3. 最終的な答え

$3(x-1)(x-2)$

##

7. (1)の問題

1. 問題の内容

線分ABを直径とする半円があり、線分AB上に点Cがある。線分ACを直径とする半円と、線分BCを直径とする半円がある。AC = x, BC = y とするとき、斜線部分の図形の周の長さを求めてください。

2. 解き方の手順

ABを直径とする半円の半径は $(x+y)/2$ なので、その円弧の長さは $\pi (x+y)/2$ です。

ACを直径とする半円の半径は $x/2$ なので、その円弧の長さは $\pi x/2$ です。

BCを直径とする半円の半径は $y/2$ なので、その円弧の長さは $\pi y/2$ です。

斜線部分の周の長さは、３つの円弧の長さの和なので、

$\pi (x+y)/2 + \pi x/2 + \pi y/2 = \pi(x+y)/2 + \pi(x+y)/2 = \pi(x+y)$

3. 最終的な答え

$\pi(x+y)$

##

7. (2)の問題

1. 問題の内容

線分ABを直径とする半円があり、線分AB上に点Cがある。線分ACを直径とする半円と、線分BCを直径とする半円がある。AC = x, BC = y とするとき、斜線部分の図形の面積を求めてください。

2. 解き方の手順

ABを直径とする半円の面積は $\frac{1}{2}\pi (\frac{x+y}{2})^2 = \frac{\pi(x+y)^2}{8}$

ACを直径とする半円の面積は $\frac{1}{2}\pi (\frac{x}{2})^2 = \frac{\pi x^2}{8}$

BCを直径とする半円の面積は $\frac{1}{2}\pi (\frac{y}{2})^2 = \frac{\pi y^2}{8}$

斜線部分の面積は、ACを直径とする半円の面積とBCを直径とする半円の面積の和からABを直径とする半円の面積を引いたものなので、

$\frac{\pi x^2}{8} + \frac{\pi y^2}{8} - \frac{\pi(x+y)^2}{8} = \frac{\pi (x^2 + y^2 - (x^2 + 2xy + y^2))}{8} = \frac{\pi (-2xy)}{8} = -\frac{\pi xy}{4}$

これは考え方が間違っています。ABを直径とする半円からACを直径とする半円とBCを直径とする半円の面積の和を引いたものが正しいです。

$\frac{\pi(x+y)^2}{8} - (\frac{\pi x^2}{8} + \frac{\pi y^2}{8}) = \frac{\pi (x^2 + 2xy + y^2 - x^2 - y^2)}{8} = \frac{2\pi xy}{8} = \frac{\pi xy}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi xy}{4}$

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8. (1)の問題

1. 問題の内容

16の平方根を求めてください。

2. 解き方の手順

平方根とは、2乗するとその数になる数のことです。

$4^2 = 16$ および $(-4)^2 = 16$ なので、16の平方根は4と-4です。

3. 最終的な答え

4, -4

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8. (2)の問題

1. 問題の内容

49の平方根を求めてください。

2. 解き方の手順

平方根とは、2乗するとその数になる数のことです。

$7^2 = 49$ および $(-7)^2 = 49$ なので、49の平方根は7と-7です。

3. 最終的な答え

7, -7

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8. (3)の問題

1. 問題の内容

1の平方根を求めてください。

2. 解き方の手順

平方根とは、2乗するとその数になる数のことです。

$1^2 = 1$ および $(-1)^2 = 1$ なので、1の平方根は1と-1です。

3. 最終的な答え

1, -1

## 5.の問題

1. 問題の内容

連続する2つの奇数について、大きい方の2乗から小さい方の2乗を引いた差は、8の倍数になることを証明してください。

2. 解き方の手順

連続する2つの奇数を $2n+1$ と $2n+3$ （nは整数）と表すことができます。

大きい方の2乗から小さい方の2乗を引くと、

$(2n+3)^2 - (2n+1)^2 = (4n^2 + 12n + 9) - (4n^2 + 4n + 1) = 8n + 8 = 8(n+1)$

$8(n+1)$ は8の倍数であるため、証明が完了しました。

3. 最終的な答え

証明完了。