$x = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$、$y = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$ のとき、$\frac{y-x}{xy}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$、$y = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$ のとき、$\frac{y-x}{xy}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$の分母を有理化します。

$x = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{7-5} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{2}$

$y = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{7-5} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2}$

次に、$y-x$を計算します。

$y-x = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2} - \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{2} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{7}+\sqrt{5}) - (\sqrt{3}-1)(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{2}$

$= \frac{(\sqrt{21}+\sqrt{15}+\sqrt{7}+\sqrt{5}) - (\sqrt{21}-\sqrt{15}-\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2} = \frac{\sqrt{21}+\sqrt{15}+\sqrt{7}+\sqrt{5} - \sqrt{21}+\sqrt{15}+\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$

$= \frac{2\sqrt{15}+2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{15}+\sqrt{7}$

次に、$xy$を計算します。

$xy = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})} = \frac{3-1}{7-5} = \frac{2}{2} = 1$

最後に、$\frac{y-x}{xy}$を計算します。

$\frac{y-x}{xy} = \frac{\sqrt{15}+\sqrt{7}}{1} = \sqrt{7}+\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{7}+\sqrt{15}$

したがって、答えは1です。