行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ による線形写像 $y = Ax$ によって、与えられた不等式で表される領域がどのような領域に移るかを求め、写像後の領域を図示する問題です。具体的には、以下の3つの領域について考えます。 (1) $0 \le x_1 \le 1$, $0 \le x_2 \le 1$ (2) $x_1 \ge 0$ (3) $x_2 \le -x_1$

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ による線形写像 $y = Ax$ によって、与えられた不等式で表される領域がどのような領域に移るかを求め、写像後の領域を図示する問題です。具体的には、以下の3つの領域について考えます。

(1) $0 \le x_1 \le 1$, $0 \le x_2 \le 1$

(2) $x_1 \ge 0$

(3) $x_2 \le -x_1$

2. 解き方の手順

(1) $0 \le x_1 \le 1$, $0 \le x_2 \le 1$ の場合

この領域は、原点を頂点とする正方形です。正方形の4つの頂点(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)が写像によってどのように移動するかを調べます。

$y = Ax = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$

(0,0) -> (0,0)

(1,0) -> (2,3)

(1,1) -> (3,4)

(0,1) -> (1,1)

したがって、写像後の領域は、(0,0), (2,3), (3,4), (1,1)を頂点とする平行四辺形になります。

(2) $x_1 \ge 0$ の場合

この領域は、$x_1 x_2$平面の$x_1$軸より右側の領域です。

$y_1 = 2x_1 + x_2$

$y_2 = 3x_1 + x_2$

$x_1 \ge 0$ の領域では、$y_1 - x_2 = 2x_1 \ge 0$なので、$y_1 \ge x_2$。

$y_2 - x_2 = 3x_1 \ge 0$なので、$y_2 \ge x_2$。

この領域は、x1 >= 0 によってどのような領域に移るのかを求めるには、Aの列ベクトルである $v_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$と$v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ を考えます。$x_1 \ge 0$なので、$x_1v_1 + x_2v_2$は、$v_1$方向に無限に伸びる領域になります。つまり、$y_1$と$y_2$の条件から領域を特定する必要があります。

(3) $x_2 \le -x_1$ の場合

この領域は、$x_2 = -x_1$の直線の下側の領域です。

$y_1 = 2x_1 + x_2$

$y_2 = 3x_1 + x_2$

$x_2 \le -x_1$ を代入すると、

$y_1 \le 2x_1 - x_1 = x_1$

$y_2 \le 3x_1 - x_1 = 2x_1$

$x_1 \ge 0$の時、$y_1, y_2$も正になりえますし、$x_1 \le 0$の時は、$y_1, y_2$は負の値を取ることがあります。

3. 最終的な答え

(1) 写像後の領域は、(0,0), (2,3), (3,4), (1,1)を頂点とする平行四辺形。

(2) 写像後の領域は、$A$の列ベクトル $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$で張られる扇形の領域。

(3) 写像後の領域は、 $x_2 \le -x_1$の線形写像によって移された領域。