2次関数 $y = -2x^2 + 6x - 2$ の $\sqrt{2} \le x$ における値域を求める問題です。

## (4) の問題

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 + 6x - 2$ の $\sqrt{2} \le x$ における値域を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 + 6x - 2$

$y = -2(x^2 - 3x) - 2$

$y = -2\left(x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2\right) - 2 + 2\left(\frac{3}{2}\right)^2$

$y = -2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - 2 + 2\left(\frac{9}{4}\right)$

$y = -2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - 2 + \frac{9}{2}$

$y = -2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{5}{2}$

したがって、この2次関数の頂点の座標は $\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)$ であり、上に凸なグラフであることがわかります。

次に、定義域の端点 $x = \sqrt{2}$ における $y$ の値を求めます。

$y = -2(\sqrt{2})^2 + 6(\sqrt{2}) - 2$

$y = -2(2) + 6\sqrt{2} - 2$

$y = -4 + 6\sqrt{2} - 2$

$y = 6\sqrt{2} - 6$

$\sqrt{2} \approx 1.414$ より、$6\sqrt{2} - 6 \approx 6(1.414) - 6 = 8.484 - 6 = 2.484 > 0$ となります。

また、頂点の $x$ 座標は $\frac{3}{2} = 1.5$ であり、$1.414 \approx \sqrt{2} < 1.5 = \frac{3}{2}$ であるため、定義域 $\sqrt{2} \le x$ において、$x$ が $\sqrt{2}$ から $\frac{3}{2}$ まで増加するにつれて、$y$ は増加し、$\frac{3}{2}$ で最大値 $\frac{5}{2}$ を取ります。その後、$x$ が増加するにつれて、$y$ は減少します。

したがって、定義域 $\sqrt{2} \le x$ における $y$ の最大値は $\frac{5}{2}$ です。

最小値は存在せず、$x$が大きくなるにつれて減少していきます。

したがって、値域は $y \le \frac{5}{2}$ かつ $y \ge 6\sqrt{2}-6$ になります。

つまり、$6\sqrt{2}-6 \le y \le \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$6\sqrt{2}-6 \le y \le \frac{5}{2}$