問題は、与えられた漸化式に基づいて数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めることです。具体的には、以下の2つの問題があります。 (1) $a_1 = 4$, $a_{n+1} = a_n + 4n$ のとき、$a_n$ を求める。 (2) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 5a_n + 8$ のとき、$a_n$ を求める。

1. 問題の内容

問題は、与えられた漸化式に基づいて数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めることです。具体的には、以下の2つの問題があります。

(1) $a_1 = 4$, $a_{n+1} = a_n + 4n$ のとき、$a_n$ を求める。

(2) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 5a_n + 8$ のとき、$a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = a_n + 4n$ の場合

この漸化式は階差数列の形をしています。$a_{n+1} - a_n = 4n$ であるから、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4k$

$a_n = 4 + 4 \sum_{k=1}^{n-1} k$

$a_n = 4 + 4 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = 4 + 2n(n-1)$

$a_n = 4 + 2n^2 - 2n$

$a_n = 2n^2 - 2n + 4$

$n=1$のとき、$a_1 = 2(1)^2 - 2(1) + 4 = 2 - 2 + 4 = 4$ となり、$a_1 = 4$ を満たします。

したがって、$a_n = 2n^2 - 2n + 4$

(2) $a_{n+1} = 5a_n + 8$ の場合

この漸化式は $a_{n+1} + \alpha = 5(a_n + \alpha)$ の形に変形できます。

$a_{n+1} = 5a_n + 5\alpha - \alpha$

$a_{n+1} = 5a_n + 4\alpha$

$5a_n + 8 = 5a_n + 4\alpha$ より

$4\alpha = 8$

$\alpha = -2$

したがって、$a_{n+1}+2 = 5(a_n + 2)$ となり、数列 $\{a_n + 2\}$ は初項 $a_1 + 2 = 2 + 2 = 4$, 公比 $5$ の等比数列です。

よって、$a_n + 2 = 4 \cdot 5^{n-1}$

$a_n = 4 \cdot 5^{n-1} - 2$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n^2 - 2n + 4$

(2) $a_n = 4 \cdot 5^{n-1} - 2$