## 解答

## 解答

###

1. 問題の内容

以下の3つの問題について答えます。

(1) $(7a+9b)^2 + (9a-7b)^2 = (11a+3b)^2 + (3a-11b)^2$ が成り立つことを示す。

(2) $a+b = 1$ のとき、$a^2 + b = b^2 + a$ が成り立つことを示す。

(3) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{a+2c}{b+2d} = \frac{2a-c}{2b-d}$ が成り立つことを示す。

###

2. 解き方の手順

**(1) $(7a+9b)^2 + (9a-7b)^2 = (11a+3b)^2 + (3a-11b)^2$ の証明**

左辺を展開すると、

$(7a+9b)^2 + (9a-7b)^2 = (49a^2 + 126ab + 81b^2) + (81a^2 - 126ab + 49b^2) = 130a^2 + 130b^2$

右辺を展開すると、

$(11a+3b)^2 + (3a-11b)^2 = (121a^2 + 66ab + 9b^2) + (9a^2 - 66ab + 121b^2) = 130a^2 + 130b^2$

左辺と右辺が等しいので、$130a^2 + 130b^2 = 130a^2 + 130b^2$ となり、与式は成立します。

**(2) $a+b = 1$ のとき、$a^2 + b = b^2 + a$ の証明**

$a^2 + b = b^2 + a$ を変形します。

$a^2 - a = b^2 - b$

$a^2 - b^2 = a - b$

$(a+b)(a-b) = a-b$

条件より、$a+b = 1$ なので、

$1(a-b) = a-b$

$a-b = a-b$

したがって、与式は成立します。

**(3) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{a+2c}{b+2d} = \frac{2a-c}{2b-d}$ の証明**

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ とおくと、$a = bk$、$c = dk$ となります。

左辺は、

$\frac{a+2c}{b+2d} = \frac{bk + 2dk}{b+2d} = \frac{k(b+2d)}{b+2d} = k$

右辺は、

$\frac{2a-c}{2b-d} = \frac{2bk - dk}{2b-d} = \frac{k(2b-d)}{2b-d} = k$

左辺と右辺が等しいので、$\frac{a+2c}{b+2d} = \frac{2a-c}{2b-d} = k$ となり、与式は成立します。

###

3. 最終的な答え

(1) $(7a+9b)^2 + (9a-7b)^2 = (11a+3b)^2 + (3a-11b)^2$ は成立する。

(2) $a+b = 1$ のとき、$a^2 + b = b^2 + a$ は成立する。

(3) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{a+2c}{b+2d} = \frac{2a-c}{2b-d}$ は成立する。