問題1：角度を度からラジアン、またはラジアンから度に変換する。 問題2：複素数を極形式で表し、それぞれの動径 $r$ と偏角 $\theta$ を求める。 問題3：身の回りの周期運動（振動現象）を一つ挙げ、その周期を答える。

1. 問題の内容

問題1：角度を度からラジアン、またはラジアンから度に変換する。

問題2：複素数を極形式で表し、それぞれの動径 $r$ と偏角 $\theta$ を求める。

問題3：身の回りの周期運動（振動現象）を一つ挙げ、その周期を答える。

2. 解き方の手順

問題1：

(1) 度からラジアンへの変換：$180^\circ = \pi$ rad を利用する。つまり、$1^\circ = \frac{\pi}{180}$ rad である。

$60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ rad

(2) 同様に、

$150^\circ = 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$ rad

(3) ラジアンから度への変換：$\pi$ rad = $180^\circ$を利用する。つまり、1 rad = $\frac{180}{\pi}^\circ$である。

$\frac{3}{4}\pi$ rad $= \frac{3}{4}\pi \times \frac{180}{\pi} = \frac{3}{4} \times 180 = 135^\circ$

(4) 同様に、

$\frac{2}{3}\pi$ rad $= \frac{2}{3}\pi \times \frac{180}{\pi} = \frac{2}{3} \times 180 = 120^\circ$

問題2：複素数 $z = a + bi$ を極形式 $r(\cos \theta + i \sin \theta)$ で表す。

$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ であり、$\tan \theta = \frac{b}{a}$ である。

(5) $z = 1 + i\sqrt{3}$

$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$。したがって、$\theta = \frac{\pi}{3}$ rad (または $60^\circ$)

よって、$z = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$

(6) $z = 2 - i$

$r = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

$\tan \theta = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$。したがって、$\theta = \arctan(-\frac{1}{2})$

(7) $z = -1$

$z = -1 + 0i$

$r = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$

$\tan \theta = \frac{0}{-1} = 0$。したがって、$\theta = \pi$ rad (または $180^\circ$)

よって、$z = 1(\cos \pi + i \sin \pi)$

(8) $z = 2i$

$z = 0 + 2i$

$r = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$

$\tan \theta = \frac{2}{0}$。したがって、$\theta = \frac{\pi}{2}$ rad (または $90^\circ$)

よって、$z = 2(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$

問題3：例として、心臓の鼓動を選ぶ。

人の心臓の鼓動の周期はおよそ1秒である。

3. 最終的な答え

問題1：

(1) $\frac{\pi}{3}$ rad

(2) $\frac{5\pi}{6}$ rad

(3) $135^\circ$

(4) $120^\circ$

問題2：

(5) $r=2, \theta = \frac{\pi}{3}$ rad (または $60^\circ$)

(6) $r=\sqrt{5}, \theta = \arctan(-\frac{1}{2})$

(7) $r=1, \theta = \pi$ rad (または $180^\circ$)

(8) $r=2, \theta = \frac{\pi}{2}$ rad (または $90^\circ$)

問題3：

心臓の鼓動、周期はおよそ1秒