与えられた2次関数のグラフとx軸との共有点を調べ、共有点がある場合はその座標を求める問題です。具体的には、以下の2つの関数について考えます。 (1) $y = x^2 - 2x - 3$ (2) $y = x^2 + 5x - 4$

1. 問題の内容

与えられた2次関数のグラフとx軸との共有点を調べ、共有点がある場合はその座標を求める問題です。具体的には、以下の2つの関数について考えます。

(1) $y = x^2 - 2x - 3$

(2) $y = x^2 + 5x - 4$

2. 解き方の手順

2次関数のグラフとx軸の共有点は、$y = 0$ となる時のxの値を求めることで得られます。つまり、2次方程式を解くことになります。

(1) $y = x^2 - 2x - 3$ の場合

$y = 0$ とおくと、$x^2 - 2x - 3 = 0$ となります。

この2次方程式を解きます。因数分解できるので、

$(x - 3)(x + 1) = 0$

したがって、$x = 3$ または $x = -1$

共有点の座標は $(3, 0)$ と $(-1, 0)$ です。

(2) $y = x^2 + 5x - 4$ の場合

$y = 0$ とおくと、$x^2 + 5x - 4 = 0$ となります。

この2次方程式を解きます。因数分解できないので、解の公式を使います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1$, $b = 5$, $c = -4$ なので、

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 16}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}$

したがって、$x = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}$ または $x = \frac{-5 - \sqrt{41}}{2}$

共有点の座標は $\left( \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}, 0 \right)$ と $\left( \frac{-5 - \sqrt{41}}{2}, 0 \right)$ です。

3. 最終的な答え

(1) 共有点の座標: $(3, 0)$, $(-1, 0)$

(2) 共有点の座標: $\left( \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}, 0 \right)$, $\left( \frac{-5 - \sqrt{41}}{2}, 0 \right)$