問題は、与えられた $x, y, a$ の値を用いて、いくつかの式の値を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題が含まれます。 1. $x = \sqrt{5} - 3$ のとき、$x^2 + 9x + 18$ と $x^2 + 6x - 40$ の値を求めます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた $x, y, a$ の値を用いて、いくつかの式の値を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題が含まれます。

1. $x = \sqrt{5} - 3$ のとき、$x^2 + 9x + 18$ と $x^2 + 6x - 40$ の値を求めます。

2. $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$, $y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ のとき、$x^2 + 2xy + y^2$ と $x^2 - y^2$ の値を求めます。

3. $\sqrt{6}$ の小数部分を $a$ とするとき、$a^2 + 4a - 21$ と $a^2 + 10a + 16$ の値を求めます。

4. $\sqrt{17}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、$a^2 - b^2$ と $a^2 + 2ab + b^2$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

1. (1) $x^2 + 9x + 18$ に $x = \sqrt{5} - 3$ を代入します。

$x^2 + 9x + 18 = (\sqrt{5} - 3)^2 + 9(\sqrt{5} - 3) + 18 = (5 - 6\sqrt{5} + 9) + 9\sqrt{5} - 27 + 18 = 14 - 6\sqrt{5} + 9\sqrt{5} - 9 = 5 + 3\sqrt{5}$

(2) $x^2 + 6x - 40$ に $x = \sqrt{5} - 3$ を代入します。

$x^2 + 6x - 40 = (\sqrt{5} - 3)^2 + 6(\sqrt{5} - 3) - 40 = (5 - 6\sqrt{5} + 9) + 6\sqrt{5} - 18 - 40 = 14 - 6\sqrt{5} + 6\sqrt{5} - 58 = -44$

2. (1) $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$ を利用します。 $x + y = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$ なので、$ (x+y)^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$

(2) $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ を利用します。$x - y = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$ なので、$x^2 - y^2 = (2\sqrt{3})(2\sqrt{2}) = 4\sqrt{6}$

3. (1) $\sqrt{6} = 2.449...$なので、$a = \sqrt{6} - 2$

$a^2 + 4a - 21 = (\sqrt{6} - 2)^2 + 4(\sqrt{6} - 2) - 21 = (6 - 4\sqrt{6} + 4) + 4\sqrt{6} - 8 - 21 = 10 - 4\sqrt{6} + 4\sqrt{6} - 29 = -19$

(2) $a^2 + 10a + 16 = (\sqrt{6} - 2)^2 + 10(\sqrt{6} - 2) + 16 = (6 - 4\sqrt{6} + 4) + 10\sqrt{6} - 20 + 16 = 10 - 4\sqrt{6} + 10\sqrt{6} - 4 = 6 + 6\sqrt{6}$

4. (1) $\sqrt{17} = 4.123...$なので、$a = 4$, $b = \sqrt{17} - 4$

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) = (4 + (\sqrt{17} - 4))(4 - (\sqrt{17} - 4)) = (\sqrt{17})(8 - \sqrt{17}) = 8\sqrt{17} - 17$

(2) $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 = (4 + (\sqrt{17} - 4))^2 = (\sqrt{17})^2 = 17$

3. 最終的な答え

1. (1) $5 + 3\sqrt{5}$ (2) $-44$

2. (1) $12$ (2) $4\sqrt{6}$

3. (1) $-19$ (2) $6 + 6\sqrt{6}$

4. (1) $8\sqrt{17} - 17$ (2) $17$