次の2次不等式を解く問題です。 (1) $(x-1)(x-3) > 0$ (2) $(x+2)(x-5) < 0$ (3) $x(x+1) \leq 0$ (4) $x^2 - x - 2 \geq 0$ (5) $x^2 + 5x + 6 > 0$ (6) $x^2 \leq 9$

1. 問題の内容

次の2次不等式を解く問題です。

(1) $(x-1)(x-3) > 0$

(2) $(x+2)(x-5) < 0$

(3) $x(x+1) \leq 0$

(4) $x^2 - x - 2 \geq 0$

(5) $x^2 + 5x + 6 > 0$

(6) $x^2 \leq 9$

2. 解き方の手順

(1) $(x-1)(x-3) > 0$

$y = (x-1)(x-3)$ とおくと、これは下に凸な放物線で、$x$軸との交点は$x=1, 3$です。

不等式が$0$より大きくなるのは、$x < 1$または$x > 3$のときです。

(2) $(x+2)(x-5) < 0$

$y = (x+2)(x-5)$ とおくと、これは下に凸な放物線で、$x$軸との交点は$x=-2, 5$です。

不等式が$0$より小さくなるのは、$-2 < x < 5$のときです。

(3) $x(x+1) \leq 0$

$y = x(x+1)$ とおくと、これは下に凸な放物線で、$x$軸との交点は$x=-1, 0$です。

不等式が$0$以下になるのは、$-1 \leq x \leq 0$のときです。

(4) $x^2 - x - 2 \geq 0$

$(x-2)(x+1) \geq 0$

$y = (x-2)(x+1)$ とおくと、これは下に凸な放物線で、$x$軸との交点は$x=-1, 2$です。

不等式が$0$以上になるのは、$x \leq -1$または$x \geq 2$のときです。

(5) $x^2 + 5x + 6 > 0$

$(x+2)(x+3) > 0$

$y = (x+2)(x+3)$ とおくと、これは下に凸な放物線で、$x$軸との交点は$x=-3, -2$です。

不等式が$0$より大きくなるのは、$x < -3$または$x > -2$のときです。

(6) $x^2 \leq 9$

$x^2 - 9 \leq 0$

$(x-3)(x+3) \leq 0$

$y = (x-3)(x+3)$ とおくと、これは下に凸な放物線で、$x$軸との交点は$x=-3, 3$です。

不等式が$0$以下になるのは、$-3 \leq x \leq 3$のときです。

3. 最終的な答え

(1) $x < 1$ または $x > 3$

(2) $-2 < x < 5$

(3) $-1 \leq x \leq 0$

(4) $x \leq -1$ または $x \geq 2$

(5) $x < -3$ または $x > -2$

(6) $-3 \leq x \leq 3$