与えられた数列 $1, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, \dots$ について、以下の問いに答えます。 (1) 25 が初めて現れるのは第何項か。 (2) この数列の第200項を求めよ。 (3) $n$ 回目に現れる1は第何項か、$n$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

与えられた数列 $1, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, \dots$ について、以下の問いに答えます。

(1) 25 が初めて現れるのは第何項か。

(2) この数列の第200項を求めよ。

(3) $n$ 回目に現れる1は第何項か、$n$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

太郎さんのように群数列として考えます。数列を $1 | 1, 3 | 1, 3, 5 | 1, 3, 5, 7 | 1, 3, 5, 7, 9 | 1, 3, \dots$ のように区切ると、第 $k$ 群は $1, 3, 5, \dots, 2k-1$ という $k$ 個の項からなることがわかります。

(1) 25 が初めて現れるのは第何項か。

数列 $1, 3, 5, \dots, 2k-1$ において、$2k-1 = 25$ となる $k$ を求めると、$2k = 26$ より $k = 13$ となります。つまり25は第13群に現れます。第13群の最後の項は25なので、25は第13群の13番目の項となります。

第12群までの項数は $1 + 2 + 3 + \dots + 12 = \frac{12(12+1)}{2} = \frac{12 \times 13}{2} = 6 \times 13 = 78$ です。したがって、25は第 $78 + 13 = 91$ 項です。

(2) この数列の第200項を求めよ。

第 $n-1$ 群までの項数は $\frac{(n-1)n}{2}$ と表せます。$\frac{(n-1)n}{2} \leq 200$ を満たす最大の整数 $n$ を求めます。

$n(n-1) \leq 400$ より、$n^2 - n - 400 \leq 0$ となります。$n$ は自然数なので、$n=20$のとき、 $20 \times 19 = 380 \leq 400$ であり、$n=21$のとき、$21 \times 20 = 420 > 400$ となります。よって、$n=20$ です。

したがって、第19群までの項数は $\frac{19 \times 20}{2} = 190$ なので、第200項は第20群の $200 - 190 = 10$ 番目の数です。

第20群は $1, 3, 5, \dots, 2 \times 20 - 1 = 39$ という数列なので、第10番目の数は $2 \times 10 - 1 = 19$ です。

(3) $n$ 回目に現れる1は第何項か、$n$ を用いて表せ。

第 $k$ 群に現れる1は、その群の最初の項です。第 $n$ 回目に現れる1は、第 $n$ 群の最初の項です。

第 $n-1$ 群までの項数は $\frac{(n-1)n}{2}$ です。したがって、第 $n$ 群の最初の項は $\frac{(n-1)n}{2} + 1 = \frac{n^2 - n + 2}{2}$ 項です。

3. 最終的な答え

(1) 91

(2) 19

(3) $\frac{n^2 - n + 2}{2}$