問題は、与えられた数列の一般項 $a_n$ を、階差数列を利用して求める問題です。 (1) $1, 2, 4, 7, 11, \dots$ (2) $2, 3, 5, 9, 17, \dots$

はい、承知いたしました。問題文に沿って、数列の一般項を求めます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた数列の一般項 $a_n$ を、階差数列を利用して求める問題です。

(1) $1, 2, 4, 7, 11, \dots$

(2) $2, 3, 5, 9, 17, \dots$

2. 解き方の手順

(1) 数列 $1, 2, 4, 7, 11, \dots$ について考えます。

階差数列 $b_n$ を求めると、$1, 2, 3, 4, \dots$ となります。

これは初項1、公差1の等差数列なので、$b_n = n$ です。

したがって、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n^2 - n + 2}{2}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1^2 - 1 + 2}{2} = 1$ となり、これは数列の初項と一致します。

よって、$a_n = \frac{n^2 - n + 2}{2}$

(2) 数列 $2, 3, 5, 9, 17, \dots$ について考えます。

階差数列 $b_n$ を求めると、$1, 2, 4, 8, \dots$ となります。

これは初項1、公比2の等比数列なので、$b_n = 2^{n-1}$ です。

したがって、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 2 + \frac{1 \cdot (2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2 + 2^{n-1} - 1 = 2^{n-1} + 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2^{1-1} + 1 = 2^0 + 1 = 1 + 1 = 2$ となり、これは数列の初項と一致します。

よって、$a_n = 2^{n-1} + 1$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{n^2 - n + 2}{2}$

(2) $a_n = 2^{n-1} + 1$