AさんとBさんが$\sqrt{3}$に関する問題について会話している。会話中の空欄に適切な語句や数値を埋める問題。

1. 問題の内容

AさんとBさんが$\sqrt{3}$に関する問題について会話している。会話中の空欄に適切な語句や数値を埋める問題。

2. 解き方の手順

* $\sqrt{3}$ の近似値を小数第3位で四捨五入すると1.73となるため、選択肢①はイ。よって、[1]はイ。

* $\sqrt{3}$ が約1.73であることから、$a=1$となる。よって、[2]は1。

* $\sqrt{3}$ から整数部分の1を引くと小数部分$b$になるので、選択肢④はウ。（$\sqrt{3}$から[3]を引く）。

* $b = \sqrt{3} - 1$なので、[5]は$\sqrt{3}-1$。

* $a=1$と$b=\sqrt{3}-1$なので、$a+b = 1 + \sqrt{3} - 1 = \sqrt{3}$。よって、[3]は$\sqrt{3}$。

* $a=1$, $b = \sqrt{3}-1$ を $a^2 + b^2$ に代入すると、$a^2+b^2 = 1^2 + (\sqrt{3}-1)^2 = 1 + 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 5 - 2\sqrt{3}$となる。

* $a^2+b^2$は、$(a+b)^2$を展開すると$a^2 + 2ab + b^2$なので、$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$となる。よって、[7]は$a^2 + 2ab + b^2$、[8]は$(a+b)^2 - 2ab$。

* $a+b = \sqrt{3}$と、$ab = 1 * (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} - 1$だから、$a^2+b^2 = (\sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{3} - 1) = 3 - 2\sqrt{3} + 2 = 5 - 2\sqrt{3}$。よって、[9]は$\sqrt{3}-1$。

* $a^2+b^2$は$5-2\sqrt{3}$。よって、[6]は$5-2\sqrt{3}$。

* $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \frac{b^2 + a^2}{ab} = \frac{5 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$を有理化する。$\frac{5 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(5 - 2\sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{5\sqrt{3} + 5 - 6 - 2\sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{3\sqrt{3} - 1}{2}$。 よって、[10]はア。

* $\frac{3\sqrt{3}-1}{2}=\frac{-1+3\sqrt{3}}{2}$となる。よって、[11]は$\frac{-1+3\sqrt{3}}{2}$。

3. 最終的な答え

* [1] イ

* [2] 1

* [3] $\sqrt{3}$

* [4] ウ

* [5] $\sqrt{3} - 1$

* [6] $5 - 2\sqrt{3}$

* [7] $a^2 + 2ab + b^2$

* [8] $(a+b)^2 - 2ab$

* [9] $\sqrt{3} - 1$

* [10] ア

* [11] $\frac{-1+3\sqrt{3}}{2}$