$a \geq 0$ のとき、関数 $y = x^2 - 4ax + 3$ ($0 \leq x \leq 4$) の最小値を求める。

1. 問題の内容

$a \geq 0$ のとき、関数 $y = x^2 - 4ax + 3$ ($0 \leq x \leq 4$) の最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = x^2 - 4ax + 3 = (x - 2a)^2 - (2a)^2 + 3 = (x - 2a)^2 - 4a^2 + 3$

これは、軸が $x = 2a$ の下に凸な放物線である。定義域が $0 \leq x \leq 4$ であることに注意する。

$a \geq 0$ なので、$2a \geq 0$ である。軸の位置によって場合分けを行う。

(i) $0 \leq 2a \leq 4$ のとき、つまり $0 \leq a \leq 2$ のとき

軸が定義域内にあるので、$x = 2a$ で最小値をとる。

最小値は $y = -4a^2 + 3$ である。

(ii) $2a > 4$ のとき、つまり $a > 2$ のとき

軸が定義域の右側にあるので、$x = 4$ で最小値をとる。

$x = 4$ を代入して、最小値は $y = 4^2 - 4a(4) + 3 = 16 - 16a + 3 = 19 - 16a$ である。

(iii) $2a < 0$ のとき、つまり $a < 0$ のとき

これは $a \geq 0$ という条件に反するので考慮しない。

したがって、最小値は

$0 \leq a \leq 2$ のとき、$y = -4a^2 + 3$

$a > 2$ のとき、$y = 19 - 16a$

3. 最終的な答え

$0 \leq a \leq 2$ のとき、最小値は $-4a^2 + 3$

$a > 2$ のとき、最小値は $19 - 16a$