次の方程式を解きます。 (1) $3^{x+1} = 3\sqrt{3}$ (2) $2^{-x} = \sqrt[4]{8}$ (3) $4^x + 2 \times 2^x = 24$

1. 問題の内容

次の方程式を解きます。

(1) $3^{x+1} = 3\sqrt{3}$

(2) $2^{-x} = \sqrt[4]{8}$

(3) $4^x + 2 \times 2^x = 24$

2. 解き方の手順

(1) $3^{x+1} = 3\sqrt{3}$

まず右辺を変形します。

$3\sqrt{3} = 3 \times 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$

したがって、$3^{x+1} = 3^{\frac{3}{2}}$

指数部分を比較して、$x+1 = \frac{3}{2}$

$x = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

(2) $2^{-x} = \sqrt[4]{8}$

まず右辺を変形します。

$\sqrt[4]{8} = 8^{\frac{1}{4}} = (2^3)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{3}{4}}$

したがって、$2^{-x} = 2^{\frac{3}{4}}$

指数部分を比較して、$-x = \frac{3}{4}$

$x = -\frac{3}{4}$

(3) $4^x + 2 \times 2^x = 24$

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$なので、与式は

$(2^x)^2 + 2 \times 2^x = 24$

$2^x = t$とおくと、$t^2 + 2t = 24$

$t^2 + 2t - 24 = 0$

$(t+6)(t-4) = 0$

$t = -6, 4$

$2^x = t$なので、$2^x > 0$である。

したがって、$t = 4$

$2^x = 4 = 2^2$

$x = 2$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{2}$

(2) $x = -\frac{3}{4}$

(3) $x = 2$