$x, y$ は実数とする。次の命題の対偶を述べ、与えられた命題の真偽と、対偶の真偽を調べて答える。 (1) $x + y > 0 \implies x > 0$ または $y > 0$ (2) $x \geq 0$ または $y \leq 0 \implies xy \leq 0$

1. 問題の内容

$x, y$ は実数とする。次の命題の対偶を述べ、与えられた命題の真偽と、対偶の真偽を調べて答える。

(1) $x + y > 0 \implies x > 0$ または $y > 0$

(2) $x \geq 0$ または $y \leq 0 \implies xy \leq 0$

2. 解き方の手順

(1)

元の命題: $x + y > 0 \implies x > 0$ または $y > 0$

対偶: $x \leq 0$ かつ $y \leq 0 \implies x + y \leq 0$

元の命題の真偽:

$x = -1, y = 2$ のとき, $x + y = 1 > 0$ だが, $x = -1 < 0$ かつ $y = 2 > 0$ より $x > 0$ または $y > 0$ は成り立つので、元の命題は真である。

対偶の真偽:

$x \leq 0$ かつ $y \leq 0$ のとき, $x + y \leq 0$ が必ず成り立つので、対偶は真である。

(2)

元の命題: $x \geq 0$ または $y \leq 0 \implies xy \leq 0$

対偶: $xy > 0 \implies x < 0$ かつ $y > 0$

元の命題の真偽:

$x = 1, y = 1$ のとき, $x \geq 0$ かつ $y \leq 0$ は成り立たないから, $x \geq 0$ または $y \leq 0$ が成り立つ。このとき, $xy = 1 > 0$ だから, $xy \leq 0$ は成り立たないので、元の命題は偽である。

対偶の真偽:

$x = 1, y = 1$ のとき, $xy = 1 > 0$ だが, $x < 0$ かつ $y > 0$ は成り立たないので、対偶は偽である。

3. 最終的な答え

(1)

対偶: $x \leq 0$ かつ $y \leq 0 \implies x + y \leq 0$

元の命題の真偽: 真

対偶の真偽: 真

(2)

対偶: $xy > 0 \implies x < 0$ かつ $y > 0$

元の命題の真偽: 偽

対偶の真偽: 偽