2x2行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ に対して、次の式が成り立つことを示す問題です。 $A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = O$ ここで、$E$ は2x2の単位行列、$O$ は2x2の零行列です。

1. 問題の内容

2x2行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ に対して、次の式が成り立つことを示す問題です。

$A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = O$

ここで、$E$ は2x2の単位行列、$O$ は2x2の零行列です。

2. 解き方の手順

まず、$A^2$を計算します。

$A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{pmatrix}$

次に、$(a+d)A$を計算します。

$(a+d)A = (a+d) \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a(a+d) & b(a+d) \\ c(a+d) & d(a+d) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + ad & ab + bd \\ ac + cd & ad + d^2 \end{pmatrix}$

次に、$(ad-bc)E$を計算します。

$(ad-bc)E = (ad-bc) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{pmatrix}$

したがって、$A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E$ は次のようになります。

$A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = \begin{pmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a^2 + ad & ab + bd \\ ac + cd & ad + d^2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} a^2 + bc - (a^2 + ad) + (ad - bc) & ab + bd - (ab + bd) + 0 \\ ac + cd - (ac + cd) + 0 & bc + d^2 - (ad + d^2) + (ad - bc) \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} a^2 + bc - a^2 - ad + ad - bc & 0 \\ 0 & bc + d^2 - ad - d^2 + ad - bc \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O$

3. 最終的な答え

$A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = O$ が成り立つ。