与えられた $n$ 次の行列式を計算する問題です。この行列は、対角線に対して対称な位置に 1 が並び、それ以外の要素はすべて 0 であるような特殊な行列です。

1. 問題の内容

与えられた $n$ 次の行列式を計算する問題です。この行列は、対角線に対して対称な位置に 1 が並び、それ以外の要素はすべて 0 であるような特殊な行列です。

2. 解き方の手順

この行列式を計算するために、行列の行または列を交換することで、行列を単位行列または対角行列に変換することを考えます。

与えられた行列を $A$ とします。行列 $A$ は次のように表されます。

$$$$

A = \begin{pmatrix}

0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\

0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\

0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\

1 & 0 & \cdots & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$$$

この行列の行列式を計算するために、まず行を交換することを考えます。

具体的には、1行目をn行目と交換し、2行目を(n-1)行目と交換し、...というように繰り返します。

この操作で、最終的に対角成分がすべて1であるような単位行列に変換されます。

$n$ が偶数の場合、行の交換回数は $n/2$ 回です。

$n$ が奇数の場合、行の交換回数は $(n-1)/2$ 回です。

行を交換すると行列式の符号が反転するので、行列式は $(-1)$ の行交換回数乗になります。

したがって、$n$ が偶数のとき、行列式は $(-1)^{n/2}$ です。

$n$ が奇数のとき、行列式は $(-1)^{(n-1)/2}$ です。

$n$が偶数のとき $n=2k$ とおくと，求める行列式は $(-1)^{k}$．

$n$が奇数のとき $n=2k+1$ とおくと，求める行列式は $(-1)^{k}$．

したがって，求める行列式は $(-1)^{\lfloor n/2 \rfloor}$ と表せる．

3. 最終的な答え

行列式は $(-1)^{\lfloor n/2 \rfloor}$ となります。