与えられた4つの2次不等式を解く問題です。 (1) $x^2 - 4x + 6 > 0$ (2) $x^2 - 2x + 2 \leq 0$ (3) $2x^2 + 4x + 3 < 0$ (4) $2x^2 + 8x + 10 \geq 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次不等式を解く問題です。

(1) $x^2 - 4x + 6 > 0$

(2) $x^2 - 2x + 2 \leq 0$

(3) $2x^2 + 4x + 3 < 0$

(4) $2x^2 + 8x + 10 \geq 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 4x + 6 > 0$

まず、$x^2 - 4x + 6 = 0$ の判別式 $D$ を計算します。

$D = (-4)^2 - 4(1)(6) = 16 - 24 = -8 < 0$

判別式が負であるため、$x^2 - 4x + 6 = 0$ は実数解を持ちません。

$x^2 - 4x + 6$ のグラフは下に凸の放物線であり、常に $x$ 軸より上にあります。したがって、すべての実数 $x$ に対して $x^2 - 4x + 6 > 0$ が成り立ちます。

(2) $x^2 - 2x + 2 \leq 0$

まず、$x^2 - 2x + 2 = 0$ の判別式 $D$ を計算します。

$D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0$

判別式が負であるため、$x^2 - 2x + 2 = 0$ は実数解を持ちません。

$x^2 - 2x + 2$ のグラフは下に凸の放物線であり、常に $x$ 軸より上にあります。したがって、すべての実数 $x$ に対して $x^2 - 2x + 2 > 0$ が成り立ちます。よって、$x^2 - 2x + 2 \leq 0$ を満たす実数 $x$ は存在しません。

(3) $2x^2 + 4x + 3 < 0$

まず、$2x^2 + 4x + 3 = 0$ の判別式 $D$ を計算します。

$D = 4^2 - 4(2)(3) = 16 - 24 = -8 < 0$

判別式が負であるため、$2x^2 + 4x + 3 = 0$ は実数解を持ちません。

$2x^2 + 4x + 3$ のグラフは下に凸の放物線であり、常に $x$ 軸より上にあります。したがって、すべての実数 $x$ に対して $2x^2 + 4x + 3 > 0$ が成り立ちます。よって、$2x^2 + 4x + 3 < 0$ を満たす実数 $x$ は存在しません。

(4) $2x^2 + 8x + 10 \geq 0$

まず、$2x^2 + 8x + 10 = 0$ の判別式 $D$ を計算します。

$D = 8^2 - 4(2)(10) = 64 - 80 = -16 < 0$

判別式が負であるため、$2x^2 + 8x + 10 = 0$ は実数解を持ちません。

$2x^2 + 8x + 10$ のグラフは下に凸の放物線であり、常に $x$ 軸より上にあります。したがって、すべての実数 $x$ に対して $2x^2 + 8x + 10 > 0$ が成り立ちます。よって、$2x^2 + 8x + 10 \geq 0$ を満たす実数 $x$ はすべての実数です。

3. 最終的な答え

(1) すべての実数

(2) 解なし

(3) 解なし

(4) すべての実数