(5) $x=2$ で最大値 6 をとり、点 $(4, -2)$ を通る2次関数を求める問題です。 (6) 頂点が $(1, -2)$ で、放物線 $y = 3x^2 - 2x + 10000$ を平行移動した放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

(5) $x=2$ で最大値 6 をとり、点 $(4, -2)$ を通る2次関数を求める問題です。

(6) 頂点が $(1, -2)$ で、放物線 $y = 3x^2 - 2x + 10000$ を平行移動した放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(5)

最大値を持つので、求める2次関数は $y = a(x - p)^2 + q$ の形で表せます。最大値が 6 をとるので、$q = 6$ であり、$x = 2$ で最大値を取るので、$p = 2$ となります。

したがって、$y = a(x - 2)^2 + 6$ と表せます。

このグラフが点 $(4, -2)$ を通るので、代入すると $-2 = a(4 - 2)^2 + 6$ となり、$-2 = 4a + 6$ を解くと、$4a = -8$、$a = -2$ となります。

したがって、求める2次関数は $y = -2(x - 2)^2 + 6$ となります。展開して整理すると、

$y = -2(x^2 - 4x + 4) + 6$

$y = -2x^2 + 8x - 8 + 6$

$y = -2x^2 + 8x - 2$

(6)

放物線 $y = 3x^2 - 2x + 10000$ を平行移動すると、x^2の係数は変わらないので、求める放物線の方程式は $y = 3(x - p)^2 + q$ の形になります。

頂点が $(1, -2)$ なので、$p = 1$, $q = -2$ となります。

したがって、求める放物線の方程式は $y = 3(x - 1)^2 - 2$ となります。

展開して整理すると、

$y = 3(x^2 - 2x + 1) - 2$

$y = 3x^2 - 6x + 3 - 2$

$y = 3x^2 - 6x + 1$

3. 最終的な答え

(5) $y = -2x^2 + 8x - 2$

(6) $y = 3x^2 - 6x + 1$