問題は、$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$と定義されたとき、以下の問いに答えるものです。 (1) $a$ の分母を有理化して簡単にすること。 (2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求め、さらに $a^2 - b^2$ の値を求めること。 (3) (2)で求めた $b$ を使用して、pを定数とするとき、不等式 $p < x < p+4b$ を満たす整数 $x$ がちょうど3個あり、その3個の整数の和が0となるような $p$ の値の範囲を求めること。

1. 問題の内容

問題は、$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$と定義されたとき、以下の問いに答えるものです。

(1) $a$ の分母を有理化して簡単にすること。

(2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求め、さらに $a^2 - b^2$ の値を求めること。

(3) (2)で求めた $b$ を使用して、pを定数とするとき、不等式 $p < x < p+4b$ を満たす整数 $x$ がちょうど3個あり、その3個の整数の和が0となるような $p$ の値の範囲を求めること。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化します。

$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ の分母を有理化するには、分母の共役な複素数 $3+2\sqrt{2}$ を分子と分母にかけます。

$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} \times \frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}$

分母を展開します。

$(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 4 \times 2 = 9 - 8 = 1$

したがって、$a = 3+2\sqrt{2}$

(2) $a$ の小数部分 $b$ を求めます。

$\sqrt{2}$ は約1.414なので、$2\sqrt{2}$ は約2.828です。

したがって、$a = 3+2\sqrt{2}$ は約 $3+2.828 = 5.828$ となります。

$a$ の整数部分は5なので、$a$ の小数部分 $b$ は $a - 5 = 3+2\sqrt{2} - 5 = 2\sqrt{2} - 2$となります。

次に $a^2 - b^2$ を求めます。

$a^2 = (3+2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17+12\sqrt{2}$

$b^2 = (2\sqrt{2}-2)^2 = 8 - 8\sqrt{2} + 4 = 12-8\sqrt{2}$

$a^2 - b^2 = (17+12\sqrt{2}) - (12-8\sqrt{2}) = 17-12 + 12\sqrt{2} + 8\sqrt{2} = 5 + 20\sqrt{2}$

(3) 不等式 $p < x < p+4b$ を満たす整数 $x$ が3個あり、それらの和が0となるような $p$ の範囲を求めます。

$4b = 4(2\sqrt{2}-2) = 8\sqrt{2} - 8$

$8\sqrt{2}$ は約 $8 \times 1.414 = 11.312$ なので、$4b$ は約 $11.312 - 8 = 3.312$

したがって、$p < x < p + 3.312$ となる整数 $x$ が3個で、それらの和が0である必要があります。

3つの整数の和が0になるのは、例えば -1, 0, 1 などです。

この3つの整数が $p < x < p+4b$ の範囲に含まれるとき、$p < -1$ かつ $1 < p+4b$ である必要があります。

つまり、$p < -1$ かつ $1 < p + 8\sqrt{2} - 8$。

$p > 9 - 8\sqrt{2}$

$8\sqrt{2}$ は約11.312なので、$9-8\sqrt{2}$ は約 $-2.312$です。

$p < -1$ と $p > 9-8\sqrt{2}$ を満たす $p$ の範囲は、$9-8\sqrt{2} < p < -1$

また、3つの整数が-1, 0, 1であるためには、$p$ は-2を超えてはいけません。また2を超えてはいけません。

$p < -2$ の場合、3つの整数は-2, -1, 0 などになります。

したがって、$9-8\sqrt{2} < p < -1$ の範囲で、$x = -1, 0, 1$ が含まれるように、$p$ の値を調整する必要があります。

$p < -1$ かつ $p + 4b > 1$ であり、さらに $p+4b < 2$ を満たす必要があります。

$p + 8\sqrt{2} - 8 > 1$ より、$p > 9-8\sqrt{2}$

$p + 8\sqrt{2} - 8 < 2$ より、$p < 10-8\sqrt{2}$

$9-8\sqrt{2} < p < 10 - 8\sqrt{2}$ を満たす $p$ に対して、$p < x < p+4b$ に入る整数は3個で和が0になります。

3つの整数が $-1, 0, 1$ となるのは、$p < -1$ かつ $p+4b > 1$ のとき。

ここで、$p > 9-8\sqrt{2}$ となり、小数で計算すると、$9-8\sqrt{2} \approx 9-8(1.414) = 9-11.312 = -2.312$

また、$10 - 8\sqrt{2} \approx 10-11.312 = -1.312$

したがって、求める $p$ の範囲は、 $9-8\sqrt{2} < p < -1$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3+2\sqrt{2}$

(2) $b = 2\sqrt{2} - 2$, $a^2 - b^2 = 5+20\sqrt{2}$

(3) $9-8\sqrt{2} < p < -1$