$ \sqrt[6]{a^5} \times \sqrt[3]{a^2} \div \sqrt[4]{a^3} = a^{\boxed{?}} $の $?$ に当てはまる数を求めよ。ただし、$ a > 0 $とする。

1. 問題の内容

$\sqrt[6]{a^5} \times \sqrt[3]{a^2} \div \sqrt[4]{a^3} = a^{\boxed{?}}$の $?$ に当てはまる数を求めよ。ただし、$a > 0$とする。

2. 解き方の手順

まず、根号を指数に変換します。

$\sqrt[6]{a^5} = a^{\frac{5}{6}}$

$\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[4]{a^3} = a^{\frac{3}{4}}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$a^{\frac{5}{6}} \times a^{\frac{2}{3}} \div a^{\frac{3}{4}} = a^{\boxed{?}}$

次に、指数法則を使って計算します。

$a^{\frac{5}{6}} \times a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{5}{6} + \frac{2}{3}}$

$a^{\frac{5}{6} + \frac{2}{3}} = a^{\frac{5}{6} + \frac{4}{6}} = a^{\frac{9}{6}} = a^{\frac{3}{2}}$

次に、割り算を計算します。

$a^{\frac{3}{2}} \div a^{\frac{3}{4}} = a^{\frac{3}{2} - \frac{3}{4}}$

$a^{\frac{3}{2} - \frac{3}{4}} = a^{\frac{6}{4} - \frac{3}{4}} = a^{\frac{3}{4}}$

したがって、

$\sqrt[6]{a^5} \times \sqrt[3]{a^2} \div \sqrt[4]{a^3} = a^{\frac{3}{4}}$

問題文より、この値は$a$と等しいので、

$a^{\frac{3}{4}} = a$

$a^{\frac{3}{4}} = a^{1}$

したがって、$a > 0$より

$\frac{3}{4} = 1$

となるはずですが、これは誤りです。問題文を注意深く読み直すと、求めるべき値は$a^{\boxed{?}}$の$？$に入る数でした。

$\sqrt[6]{a^5} \times \sqrt[3]{a^2} \div \sqrt[4]{a^3} = a^{\frac{3}{4}}$

3. 最終的な答え

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