連立不等式 $-2x + 3 < x^2 \leq 3x + 1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

連立不等式 $-2x + 3 < x^2 \leq 3x + 1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

連立不等式を $-2x + 3 < x^2$ と $x^2 \leq 3x + 1$ の二つの不等式に分けて考えます。

まず、$-2x + 3 < x^2$ を解きます。

両辺を移行して整理すると、

$0 < x^2 + 2x - 3$

$x^2 + 2x - 3 > 0$

$(x+3)(x-1) > 0$

したがって、$x < -3$ または $x > 1$。

次に、$x^2 \leq 3x + 1$ を解きます。

両辺を移行して整理すると、

$x^2 - 3x - 1 \leq 0$

二次方程式 $x^2 - 3x - 1 = 0$ の解を求めると、

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9+4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

したがって、$\frac{3-\sqrt{13}}{2} \leq x \leq \frac{3+\sqrt{13}}{2}$。

二つの不等式の解をまとめると、

$x < -3$ または $x > 1$ と $\frac{3-\sqrt{13}}{2} \leq x \leq \frac{3+\sqrt{13}}{2}$ を満たす $x$ の範囲を求めることになります。

$\frac{3-\sqrt{13}}{2} \approx -0.30$ であり、$\frac{3+\sqrt{13}}{2} \approx 3.30$ であるので、

$\frac{3-\sqrt{13}}{2} \leq x < -3$ と $1 < x \leq \frac{3+\sqrt{13}}{2}$ を満たす $x$ は存在しないため、

$1 < x \leq \frac{3+\sqrt{13}}{2}$ が解となります。

$\frac{3-\sqrt{13}}{2} \leq x < -3$ は存在しない解です。

したがって、$1 < x \leq \frac{3+\sqrt{13}}{2}$。

3. 最終的な答え

$1 < x \leq \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$