$\log_7 2 \cdot \log_2 7$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\log_7 2 \cdot \log_2 7$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

2. 解き方の手順

底の変換公式は、$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ と表されます。

ここでは、底を $c$ を自由な数に取ることができますが、都合の良いように今回は $c=10$ として考えます。

まず、$\log_7 2$ を底の変換公式を使って書き換えます。

$\log_7 2 = \frac{\log_{10} 2}{\log_{10} 7}$

次に、$\log_2 7$ を底の変換公式を使って書き換えます。

$\log_2 7 = \frac{\log_{10} 7}{\log_{10} 2}$

したがって、

$\log_7 2 \cdot \log_2 7 = \frac{\log_{10} 2}{\log_{10} 7} \cdot \frac{\log_{10} 7}{\log_{10} 2}$

となります。

$\log_{10} 2$ と $\log_{10} 7$ が約分できるので、

$\log_7 2 \cdot \log_2 7 = \frac{\log_{10} 2}{\log_{10} 7} \cdot \frac{\log_{10} 7}{\log_{10} 2} = 1$

3. 最終的な答え

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