問題は画像に含まれる以下の2つのパートから構成されています。 * **パート1：** 2重根号の外し方の問題が2問あります。 (1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ (2) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$ * **パート2：** 条件文の必要条件・十分条件の判別を行う問題が5問あります。それぞれの問題で、条件が「必要条件であるが十分条件でない」場合は①、「十分条件であるが必要条件でない」場合は②、「必要十分条件である」場合は③を解答します。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に回答します。

1. 問題の内容

問題は画像に含まれる以下の2つのパートから構成されています。

* **パート1：** 2重根号の外し方の問題が2問あります。

(1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$

(2) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

* **パート2：** 条件文の必要条件・十分条件の判別を行う問題が5問あります。それぞれの問題で、条件が「必要条件であるが十分条件でない」場合は①、「十分条件であるが必要条件でない」場合は②、「必要十分条件である」場合は③を解答します。

2. 解き方の手順

* **パート1：2重根号の外し方**

(1) $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ の場合：

$4+2\sqrt{3}$ を $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ の形に分解することを考えます。

$a + b = 4$ および $ab = 3$ となる $a$ と $b$ を見つけると、$a = 3$、$b = 1$ が見つかります。

したがって、$\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{1})^2} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3} + 1$

(2) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$ の場合：

$\sqrt{4-\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{8-2\sqrt{15}}{2}} = \frac{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}$

$8-2\sqrt{15}$ を $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$ の形に分解することを考えます。

$a + b = 8$ および $ab = 15$ となる $a$ と $b$ を見つけると、$a = 5$、$b = 3$ が見つかります。

したがって、$\sqrt{8-2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$

よって、$\frac{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2}$

* **パート2：必要条件・十分条件の判別**

(1) $x=2$は、$x^2-x-2=0$であるための **②** (十分条件であるが必要条件でない)

$x=2$ ならば $x^2 - x - 2 = 4 - 2 - 2 = 0$ となるので十分条件です。

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) = 0$ より、$x=2$ または $x=-1$ なので、必要条件ではありません。

(2) $x=y=2$は、$2x-y=2y-x=2$であるための **③** (必要十分条件である)

$x=y=2$ ならば $2x-y = 4-2 = 2$ かつ $2y-x = 4-2 = 2$ となるので十分条件です。

$2x-y=2y-x$ より $3x=3y$, $x=y$です。$2x-y=2$に$x=y$を代入すると$x=2$です。$x=y=2$になります。

(3) △ABCが二等辺三角形であることは、△ABCが正三角形であるための **①** (必要条件であるが十分条件でない)

△ABCが正三角形ならば二等辺三角形なので、必要条件です。

△ABCが二等辺三角形でも正三角形とは限らないので、十分条件ではありません。

(4) $|x|<3$は$x<3$であるための **②** (十分条件であるが必要条件でない)

$|x|<3$ ならば $-3 < x < 3$ なので、$x<3$ は成り立ち、十分条件です。

$x<3$ でも $|x|<3$ は成り立たない ($x=-4$ など) ので、必要条件ではありません。

(5) $ab+1>a+b$であることは、$|a|<1$かつ$|b|<1$であるための **①** (必要条件であるが十分条件でない)

$ab+1 > a+b$ より $ab - a - b + 1 > 0$ なので $(a-1)(b-1) > 0$ です。

したがって、$a > 1$ かつ $b > 1$ または $a < 1$ かつ $b < 1$ です。

$|a| < 1$ かつ $|b| < 1$ (すなわち $-1 < a < 1$ かつ $-1 < b < 1$) ならば $a < 1$ かつ $b < 1$ なので、十分条件です。

しかし、$a=2$, $b=3$ でも $(a-1)(b-1) = 2 > 0$ ですが、$|a|<1$ かつ $|b|<1$ は成り立たないので、必要条件ではありません。

3. 最終的な答え

* パート1：

(1) $\sqrt{3} + 1$

(2) $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2}$

* パート2：

(1) ②

(2) ③

(3) ①

(4) ②

(5) ①