複素数 $z = 1 + \sqrt{3}i$ と $w = i$ が与えられたとき、複素数 $zw$, $\frac{z}{w}$, $\frac{w}{z}$ を極形式で表す。

1. 問題の内容

複素数 $z = 1 + \sqrt{3}i$ と $w = i$ が与えられたとき、複素数 $zw$, $\frac{z}{w}$, $\frac{w}{z}$ を極形式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$z$ と $w$ を極形式で表す。

$z = 1 + \sqrt{3}i$ について、絶対値 $|z|$ と偏角 $\arg(z)$ を求める。

$|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\arg(z) = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$

よって、$z = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$

$w = i$ について、絶対値 $|w|$ と偏角 $\arg(w)$ を求める。

$|w| = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$

$\arg(w) = \frac{\pi}{2}$

よって、$w = 1\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}$

次に、$zw$, $\frac{z}{w}$, $\frac{w}{z}$ を計算する。

$zw = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) \cdot \left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}\right)\right) = 2\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right)$

$\frac{z}{w} = \frac{2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{1}\left(\cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2}\right)\right) = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = 2\left(\cos\frac{-\pi}{6} + i\sin\frac{-\pi}{6}\right)$

$\frac{w}{z} = \frac{\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}}{2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)$

3. 最終的な答え

$zw = 2\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right)$

$\frac{z}{w} = 2\left(\cos\frac{-\pi}{6} + i\sin\frac{-\pi}{6}\right)$

$\frac{w}{z} = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)$