集合 $X$, $Y$ と写像 $f: X \to Y$ に対して、以下の定義を述べる。 (1) $f$ の逆像 (2) $f$ の逆写像

代数学集合写像逆像逆写像全単射
2025/7/9

1. 問題の内容

集合 XX, YY と写像 f:XYf: X \to Y に対して、以下の定義を述べる。
(1) ff の逆像
(2) ff の逆写像

2. 解き方の手順

(1) ff の逆像:
YY の部分集合 AA に対して、ffAA における逆像 f1(A)f^{-1}(A) は、次のように定義される。
f1(A)={xXf(x)A}f^{-1}(A) = \{ x \in X \mid f(x) \in A \}
(2) ff の逆写像:
写像 f:XYf: X \to Y が全単射であるとき、YY の各要素 yy に対して、f(x)=yf(x) = y を満たす XX の要素 xx がただ一つ存在する。このとき、yyxx に対応させる写像を ff の逆写像といい、f1:YXf^{-1}: Y \to X と表す。
つまり、f1(y)=xf^{-1}(y) = x となる。

3. 最終的な答え

(1) ff の逆像:f1(A)={xXf(x)A}f^{-1}(A) = \{ x \in X \mid f(x) \in A \}
(2) ff の逆写像:f1(y)=xf^{-1}(y) = x ただし、ff が全単射であり、f(x)=yf(x)=y

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