集合 $X$, $Y$ と写像 $f: X \to Y$ に対して、以下の定義を述べる。 (1) $f$ の逆像 (2) $f$ の逆写像

1. 問題の内容

集合 $X$, $Y$ と写像 $f: X \to Y$ に対して、以下の定義を述べる。

(1) $f$ の逆像

(2) $f$ の逆写像

2. 解き方の手順

(1) $f$ の逆像：

$Y$ の部分集合 $A$ に対して、$f$ の $A$ における逆像 $f^{-1}(A)$ は、次のように定義される。

$f^{-1}(A) = \{ x \in X \mid f(x) \in A \}$

(2) $f$ の逆写像：

写像 $f: X \to Y$ が全単射であるとき、$Y$ の各要素 $y$ に対して、$f(x) = y$ を満たす $X$ の要素 $x$ がただ一つ存在する。このとき、$y$ を $x$ に対応させる写像を $f$ の逆写像といい、$f^{-1}: Y \to X$ と表す。

つまり、$f^{-1}(y) = x$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $f$ の逆像：$f^{-1}(A) = \{ x \in X \mid f(x) \in A \}$

(2) $f$ の逆写像：$f^{-1}(y) = x$ ただし、$f$ が全単射であり、$f(x)=y$