与えられた問題は以下の3つです。 (2) $\frac{1}{9^x} - \frac{6}{3^x} - 27 > 0$ を解く。 (3) $\log_3 x + \log_9 (4-x) = 1$ を解く。 (4) $-2(\log_2 x)^2 + 9 \log_8 2x < 1$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の3つです。

(2) $\frac{1}{9^x} - \frac{6}{3^x} - 27 > 0$ を解く。

(3) $\log_3 x + \log_9 (4-x) = 1$ を解く。

(4) $-2(\log_2 x)^2 + 9 \log_8 2x < 1$ を解く。

2. 解き方の手順

(2)

$t = 3^x$ とおくと、$9^x = (3^x)^2 = t^2$ となる。不等式は次のようになる。

$\frac{1}{t^2} - \frac{6}{t} - 27 > 0$

両辺に $t^2$ をかける。($t^2 > 0$ より不等号の向きは変わらない)

$1 - 6t - 27t^2 > 0$

$27t^2 + 6t - 1 < 0$

$(9t - 1)(3t + 1) < 0$

$-\frac{1}{3} < t < \frac{1}{9}$

$t = 3^x$ より、

$-\frac{1}{3} < 3^x < \frac{1}{9}$

$3^x > -\frac{1}{3}$ は常に成り立つ。

$3^x < \frac{1}{9}$

$3^x < 3^{-2}$

$x < -2$

(3)

$\log_3 x + \log_9 (4-x) = 1$

底の変換公式より $\log_9 (4-x) = \frac{\log_3 (4-x)}{\log_3 9} = \frac{\log_3 (4-x)}{2}$

$\log_3 x + \frac{1}{2} \log_3 (4-x) = 1$

$2\log_3 x + \log_3 (4-x) = 2$

$\log_3 x^2 + \log_3 (4-x) = 2$

$\log_3 x^2(4-x) = 2$

$x^2(4-x) = 3^2 = 9$

$4x^2 - x^3 = 9$

$x^3 - 4x^2 + 9 = 0$

$(x+1)(x^2-5x+9)=0$

$x=-1$または、$x^2-5x+9 = 0$

$x^2 - 5x + 9 = 0$ の判別式 $D = (-5)^2 - 4*1*9 = 25 - 36 = -11 < 0$ なので実数解を持たない。

よって、$x=-1$

ただし、$\log_3 x$ が定義されるためには $x>0$ でなければならないので、この解は不適。

また、$\log_9 (4-x)$ が定義されるためには $4-x > 0$ でなければならないので、$x<4$ でなければならない。

したがって、この方程式は解なし。

(4)

$-2(\log_2 x)^2 + 9 \log_8 2x < 1$

$\log_8 2x = \log_8 2 + \log_8 x = \frac{1}{3} + \frac{\log_2 x}{3}$

$-2(\log_2 x)^2 + 9 (\frac{1}{3} + \frac{\log_2 x}{3}) < 1$

$-2(\log_2 x)^2 + 3 + 3\log_2 x < 1$

$-2(\log_2 x)^2 + 3\log_2 x + 2 < 0$

$2(\log_2 x)^2 - 3\log_2 x - 2 > 0$

$2t^2 - 3t - 2 > 0$ (ただし、$t = \log_2 x$)

$(2t+1)(t-2) > 0$

$t < -\frac{1}{2}$ または $t > 2$

$\log_2 x < -\frac{1}{2}$ または $\log_2 x > 2$

$x < 2^{-\frac{1}{2}}$ または $x > 2^2$

$x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ または $x > 4$

$x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ または $x > 4$

また、対数の定義から $x > 0$ である必要がある。

3. 最終的な答え

(2) $x < -2$

(3) 解なし

(4) $0 < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ または $x > 4$