与えられた二つの不等式 $3|x| - |x-2| \le 8$ (1)と $2x+7 \ge 0$ (2)について、以下の問いに答える。 (1) $x$ の範囲によって、$3|x| - |x-2|$ を簡単な式で表す。 (2) 不等式(1)の解を求める。 (3) 不等式(1)と(2)をともに満たす整数 $x$ の個数を求める。

1. 問題の内容

与えられた二つの不等式 $3|x| - |x-2| \le 8$ (1)と $2x+7 \ge 0$ (2)について、以下の問いに答える。

(1) $x$ の範囲によって、$3|x| - |x-2|$ を簡単な式で表す。

(2) 不等式(1)の解を求める。

(3) 不等式(1)と(2)をともに満たす整数 $x$ の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x$ の範囲で場合分けをして、$|x|$ と $|x-2|$ の絶対値を外す。

* $x<0$ のとき、$|x| = -x$ かつ $|x-2| = -(x-2) = -x+2$。よって、$3|x| - |x-2| = 3(-x) - (-x+2) = -3x + x - 2 = -2x - 2$.

* $0 \le x < 2$ のとき、$|x| = x$ かつ $|x-2| = -(x-2) = -x+2$。よって、$3|x| - |x-2| = 3x - (-x+2) = 3x + x - 2 = 4x - 2$.

* $2 \le x$ のとき、$|x| = x$ かつ $|x-2| = x-2$。よって、$3|x| - |x-2| = 3x - (x-2) = 3x - x + 2 = 2x + 2$.

(2) 不等式 $3|x| - |x-2| \le 8$ について、(1)で求めた場合分けを利用して解く。

* $x<0$ のとき、$-2x - 2 \le 8$ より、$-2x \le 10$。よって、$x \ge -5$。したがって、$-5 \le x < 0$.

* $0 \le x < 2$ のとき、$4x - 2 \le 8$ より、$4x \le 10$。よって、$x \le \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$。したがって、$0 \le x < 2$.

* $2 \le x$ のとき、$2x + 2 \le 8$ より、$2x \le 6$。よって、$x \le 3$。したがって、$2 \le x \le 3$.

上記の３つの範囲を合わせると、$-5 \le x \le 3$ となる。

(3) 不等式 $2x+7 \ge 0$ を解くと、$2x \ge -7$ より、$x \ge -\frac{7}{2} = -3.5$.

したがって、不等式(1)と(2)をともに満たす $x$ の範囲は、$-3.5 \le x \le 3$ となる。

この範囲の整数は、$-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ の7個である。

3. 最終的な答え

(1)

* アイ: -2, ウ: 2

* エ: 4, オ: 2

* カ: 2, キ: 2

(2)

* クゲ: -5, コ: 3

(3)

* サ: 7