与えられた3つの2次式を複素数の範囲で因数分解します。 (1) $x^2 - 2x - 1$ (2) $x^2 + 2x + 5$ (3) $2x^2 - 3x + 4$

1. 問題の内容

与えられた3つの2次式を複素数の範囲で因数分解します。

(1) $x^2 - 2x - 1$

(2) $x^2 + 2x + 5$

(3) $2x^2 - 3x + 4$

2. 解き方の手順

2次式 $ax^2 + bx + c$ を因数分解するには、まず2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を求めます。解を $\alpha$ と $\beta$ とすると、$ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ と因数分解できます。2次方程式の解の公式は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ です。

(1) $x^2 - 2x - 1 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

よって、$x^2 - 2x - 1 = (x - (1 + \sqrt{2}))(x - (1 - \sqrt{2}))$

(2) $x^2 + 2x + 5 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(5)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$

よって、$x^2 + 2x + 5 = (x - (-1 + 2i))(x - (-1 - 2i)) = (x + 1 - 2i)(x + 1 + 2i)$

(3) $2x^2 - 3x + 4 = 0$ の解を求めます。

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(4)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{-23}}{4} = \frac{3 \pm i\sqrt{23}}{4}$

よって、$2x^2 - 3x + 4 = 2(x - (\frac{3 + i\sqrt{23}}{4}))(x - (\frac{3 - i\sqrt{23}}{4})) = 2(x - \frac{3 + i\sqrt{23}}{4})(x - \frac{3 - i\sqrt{23}}{4})$

3. 最終的な答え

(1) $(x - (1 + \sqrt{2}))(x - (1 - \sqrt{2}))$

(2) $(x + 1 - 2i)(x + 1 + 2i)$

(3) $2(x - \frac{3 + i\sqrt{23}}{4})(x - \frac{3 - i\sqrt{23}}{4})$