$P(x) = x^3 + x^2 + ax + b$ が $P(2)=0$ を満たすとき、以下の問題を解く。 (1) $b$ を $a$ を用いて表し、$P(x)$ を因数分解する。 (2) $P(x)=0$ の異なる実数解がちょうど2個であるときの $a$ の値を求め、そのときの $P(x)=0$ の解をすべて求める。

1. 問題の内容

$P(x) = x^3 + x^2 + ax + b$ が $P(2)=0$ を満たすとき、以下の問題を解く。

(1) $b$ を $a$ を用いて表し、$P(x)$ を因数分解する。

(2) $P(x)=0$ の異なる実数解がちょうど2個であるときの $a$ の値を求め、そのときの $P(x)=0$ の解をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1)

$P(2) = 0$ より、

$P(2) = 2^3 + 2^2 + 2a + b = 8 + 4 + 2a + b = 12 + 2a + b = 0$

したがって、$b = -2a - 12$。

このとき、$P(x) = x^3 + x^2 + ax - 2a - 12$ となる。

$P(2) = 0$ なので、$P(x)$ は $x-2$ を因数に持つ。

実際に割り算を行うと、

$P(x) = (x-2)(x^2 + 3x + a + 6)$

(2)

$P(x) = 0$ が異なる実数解をちょうど2個持つとき、以下の2つの場合が考えられる。

(i) $x^2+3x+a+6=0$ が $x=2$ を解に持つとき。

$2^2 + 3\cdot 2 + a + 6 = 4 + 6 + a + 6 = 16 + a = 0$ より、$a = -16$。

このとき、$x^2 + 3x - 10 = (x+5)(x-2) = 0$ より、$x = -5, 2$。

したがって、$P(x) = (x-2)(x+5)(x-2) = (x-2)^2(x+5)=0$ の解は $x = 2, -5$。

(ii) $x^2+3x+a+6=0$ が重解を持つとき。

判別式 $D = 3^2 - 4(a+6) = 9 - 4a - 24 = -4a - 15 = 0$ より、$a = -\frac{15}{4}$。

このとき、$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = (x + \frac{3}{2})^2 = 0$ より、$x = -\frac{3}{2}$。

したがって、$P(x) = (x-2)(x+\frac{3}{2})^2=0$ の解は $x = 2, -\frac{3}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $b = -2a - 12$, $P(x) = (x-2)(x^2+3x+a+6)$

(2)

(i) $a = -16$ のとき、解は $x = 2, -5$。

(ii) $a = -\frac{15}{4}$ のとき、解は $x = 2, -\frac{3}{2}$。