与えられた方程式 $x^3 - 8 = 0$ を解いて、$x$ の値を求める問題です。

代数学方程式三次方程式複素数解の公式ド・モアブルの定理
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた方程式 x38=0x^3 - 8 = 0 を解いて、xx の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を以下のように変形します。
x3=8x^3 = 8
次に、両辺の3乗根を求めます。
x=83x = \sqrt[3]{8}
88232^3 と表せるので、
x=233x = \sqrt[3]{2^3}
x=2x = 2
したがって、xx の実数解は 22 です。
また、複素数の範囲では、x38=0x^3 - 8 = 0 は3つの解を持ちます。これは、x3=8x^3 = 8 を満たす複素数 xx を探すことになります。8=8(cos0+isin0)8 = 8(\cos 0 + i \sin 0) と表現できます。ド・モアブルの定理より、
x=83(cos(0+2kπ3)+isin(0+2kπ3))x = \sqrt[3]{8} (\cos(\frac{0 + 2k\pi}{3}) + i \sin(\frac{0 + 2k\pi}{3}))(ただし、k=0,1,2k = 0, 1, 2
x=2(cos(2kπ3)+isin(2kπ3))x = 2(\cos(\frac{2k\pi}{3}) + i \sin(\frac{2k\pi}{3}))
k=0k = 0 のとき、x=2(cos0+isin0)=2(1+0i)=2x = 2(\cos 0 + i \sin 0) = 2(1 + 0i) = 2
k=1k = 1 のとき、x=2(cos2π3+isin2π3)=2(12+i32)=1+i3x = 2(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}) = 2(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 + i\sqrt{3}
k=2k = 2 のとき、x=2(cos4π3+isin4π3)=2(12i32)=1i3x = 2(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}) = 2(-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 - i\sqrt{3}

3. 最終的な答え

実数解は x=2x = 2 です。複素数解を含めると、x=2,1+i3,1i3x = 2, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3} です。

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