与えられた方程式 $x^3 - 8 = 0$ を解いて、$x$ の値を求める問題です。代数学方程式三次方程式複素数解の公式ド・モアブルの定理2025/7/91. 問題の内容与えられた方程式 x3−8=0x^3 - 8 = 0x3−8=0 を解いて、xxx の値を求める問題です。2. 解き方の手順まず、与えられた方程式を以下のように変形します。x3=8x^3 = 8x3=8次に、両辺の3乗根を求めます。x=83x = \sqrt[3]{8}x=38888 は 232^323 と表せるので、x=233x = \sqrt[3]{2^3}x=323x=2x = 2x=2したがって、xxx の実数解は 222 です。また、複素数の範囲では、x3−8=0x^3 - 8 = 0x3−8=0 は3つの解を持ちます。これは、x3=8x^3 = 8x3=8 を満たす複素数 xxx を探すことになります。8=8(cos0+isin0)8 = 8(\cos 0 + i \sin 0)8=8(cos0+isin0) と表現できます。ド・モアブルの定理より、x=83(cos(0+2kπ3)+isin(0+2kπ3))x = \sqrt[3]{8} (\cos(\frac{0 + 2k\pi}{3}) + i \sin(\frac{0 + 2k\pi}{3}))x=38(cos(30+2kπ)+isin(30+2kπ))(ただし、k=0,1,2k = 0, 1, 2k=0,1,2)x=2(cos(2kπ3)+isin(2kπ3))x = 2(\cos(\frac{2k\pi}{3}) + i \sin(\frac{2k\pi}{3}))x=2(cos(32kπ)+isin(32kπ))k=0k = 0k=0 のとき、x=2(cos0+isin0)=2(1+0i)=2x = 2(\cos 0 + i \sin 0) = 2(1 + 0i) = 2x=2(cos0+isin0)=2(1+0i)=2k=1k = 1k=1 のとき、x=2(cos2π3+isin2π3)=2(−12+i32)=−1+i3x = 2(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}) = 2(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 + i\sqrt{3}x=2(cos32π+isin32π)=2(−21+i23)=−1+i3k=2k = 2k=2 のとき、x=2(cos4π3+isin4π3)=2(−12−i32)=−1−i3x = 2(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}) = 2(-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 - i\sqrt{3}x=2(cos34π+isin34π)=2(−21−i23)=−1−i33. 最終的な答え実数解は x=2x = 2x=2 です。複素数解を含めると、x=2,−1+i3,−1−i3x = 2, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3}x=2,−1+i3,−1−i3 です。