$\frac{\sqrt{3n}}{5}$ が自然数となるような3桁の自然数 $n$ をすべて求める。

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{3n}}{5}$ が自然数となるような3桁の自然数 $n$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

$\frac{\sqrt{3n}}{5} = k$ （$k$は自然数）とおく。

すると、$\sqrt{3n} = 5k$ となる。

両辺を2乗して、$3n = 25k^2$ となる。

よって、$n = \frac{25k^2}{3}$ となる。

$n$ は自然数なので、$k^2$ が3の倍数となる必要がある。

したがって、$k$ は3の倍数でなければならない。

$k = 3m$ （$m$は自然数）とおくと、

$n = \frac{25(3m)^2}{3} = \frac{25 \cdot 9m^2}{3} = 25 \cdot 3m^2 = 75m^2$ となる。

$n$ は3桁の自然数なので、$100 \le n \le 999$ である。

$100 \le 75m^2 \le 999$

$\frac{100}{75} \le m^2 \le \frac{999}{75}$

$\frac{4}{3} \le m^2 \le \frac{333}{25} = 13.32$

$1.333 \le m^2 \le 13.32$

したがって、$m$ は自然数なので、$2 \le m^2 \le 13$

$2 \le m \le 3$ を満たす整数 $m$ は、2, 3である。

$m=2$ のとき、$n = 75 \cdot 2^2 = 75 \cdot 4 = 300$

$m=3$ のとき、$n = 75 \cdot 3^2 = 75 \cdot 9 = 675$

$m=4$ のとき、$n = 75 \cdot 4^2 = 75 \cdot 16 = 1200$ これは3桁ではないので除外する。

3. 最終的な答え

300, 675