行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める。

固有方程式 $|A - \lambda E| = 0$ を解く。ここで $\lambda$ は固有値、$E$ は単位行列である。

$|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ -1 & 4-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - (2)(-1) = \lambda^2 - 5\lambda + 4 + 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0$

よって固有値は $\lambda_1 = 2$ と $\lambda_2 = 3$ である。

(2) 固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = 2$ のとき、$(A - 2E)\vec{v_1} = \vec{0}$ を満たす固有ベクトル $\vec{v_1}$ を求める。

$\begin{pmatrix} 1-2 & 2 \\ -1 & 4-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + 2y = 0$ より $x = 2y$。したがって、$\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ は固有値 $\lambda_1 = 2$ に対応する固有ベクトルの一つである。

$\lambda_2 = 3$ のとき、$(A - 3E)\vec{v_2} = \vec{0}$ を満たす固有ベクトル $\vec{v_2}$ を求める。

$\begin{pmatrix} 1-3 & 2 \\ -1 & 4-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-2x + 2y = 0$ より $x = y$。したがって、$\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ は固有値 $\lambda_2 = 3$ に対応する固有ベクトルの一つである。

3. 最終的な答え

固有値: $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 3$

固有ベクトル: $\lambda_1 = 2$ に対応する固有ベクトル $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\lambda_2 = 3$ に対応する固有ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$