方程式 $2\log_2|x-1| - \log_2|x+1| - 3 = 0$ を満たす実数 $x$ を全て求める問題です。

1. 問題の内容

方程式 $2\log_2|x-1| - \log_2|x+1| - 3 = 0$ を満たす実数 $x$ を全て求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、真数条件から、$|x-1| > 0$ かつ $|x+1| > 0$ である必要があります。

これは、$x \neq 1$ かつ $x \neq -1$ を意味します。

次に、与えられた方程式を変形します。

$2\log_2|x-1| - \log_2|x+1| = 3$

$\log_2|x-1|^2 - \log_2|x+1| = \log_2(2^3)$

$\log_2\frac{(x-1)^2}{|x+1|} = \log_2 8$

したがって、

$\frac{(x-1)^2}{|x+1|} = 8$

ここで、$x+1 > 0$ の場合 ($x > -1$) と $x+1 < 0$ の場合 ($x < -1$) に場合分けして考えます。

(i) $x > -1$ の場合、 $|x+1| = x+1$ なので、

$\frac{(x-1)^2}{x+1} = 8$

$(x-1)^2 = 8(x+1)$

$x^2 - 2x + 1 = 8x + 8$

$x^2 - 10x - 7 = 0$

この2次方程式を解くと、

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4(1)(-7)}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{128}}{2} = \frac{10 \pm 8\sqrt{2}}{2} = 5 \pm 4\sqrt{2}$

$x = 5 + 4\sqrt{2}$ と $x = 5 - 4\sqrt{2}$ が得られます。

ここで、$x > -1$ と $x \neq 1$ という条件を満たすか確認します。

$5 + 4\sqrt{2} \approx 5 + 4(1.414) = 5 + 5.656 = 10.656 > -1$ かつ $5 + 4\sqrt{2} \neq 1$ なので、$x = 5 + 4\sqrt{2}$ は解です。

$5 - 4\sqrt{2} \approx 5 - 4(1.414) = 5 - 5.656 = -0.656 > -1$ かつ $5 - 4\sqrt{2} \neq 1$ なので、$x = 5 - 4\sqrt{2}$ も解です。

(ii) $x < -1$ の場合、 $|x+1| = -(x+1)$ なので、

$\frac{(x-1)^2}{-(x+1)} = 8$

$(x-1)^2 = -8(x+1)$

$x^2 - 2x + 1 = -8x - 8$

$x^2 + 6x + 9 = 0$

$(x+3)^2 = 0$

$x = -3$

ここで、$x < -1$ という条件を満たすか確認します。

$x = -3 < -1$ なので、$x = -3$ は解です。

3. 最終的な答え

$x = -3, 5 - 4\sqrt{2}, 5 + 4\sqrt{2}$