$2x^3 + 5x^2 + x - 2$ を因数分解し、$(x + ス)(x + セ)(ソx - タ)$ の形にする。ただし、$ス < セ$ とする。

1. 問題の内容

$2x^3 + 5x^2 + x - 2$ を因数分解し、$(x + ス)(x + セ)(ソx - タ)$ の形にする。ただし、$ス < セ$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$P(x) = 2x^3 + 5x^2 + x - 2$ とおく。因数定理を用いて、 $P(x) = 0$ となる $x$ の値を探す。

$P(-1) = 2(-1)^3 + 5(-1)^2 + (-1) - 2 = -2 + 5 - 1 - 2 = 0$ であるから、$x + 1$ は $P(x)$ の因数である。

そこで、$P(x)$ を $x + 1$ で割る。

\begin{array}{c|cccc}

& 2 & 5 & 1 & -2 \\

-1 & & -2 & -3 & 2 \\ \hline

& 2 & 3 & -2 & 0 \\

\end{array}

これにより、$2x^3 + 5x^2 + x - 2 = (x + 1)(2x^2 + 3x - 2)$ となる。

次に、$2x^2 + 3x - 2$ を因数分解する。

$2x^2 + 3x - 2 = (2x - 1)(x + 2)$

よって、$2x^3 + 5x^2 + x - 2 = (x + 1)(x + 2)(2x - 1)$ となる。

$(x + ス)(x + セ)(ソx - タ)$ の形にするために、$2x-1$を$(x - \frac{1}{2}) \times 2$と変形する。

したがって、

$2x^3 + 5x^2 + x - 2 = 2(x + 1)(x + 2)(x - \frac{1}{2})$

ここで $2x^3 + 5x^2 + x - 2 = (x + ス)(x + セ)(ソx - タ)$ と比較するために、

$2(x+1)(x+2)(x-\frac{1}{2})$ と$(x + ス)(x + セ)(ソx - タ)$ を比較する。

すると、$2x^3 + 5x^2 + x - 2 = (x + 1)(x + 2)(2x - 1)$ がわかる。

$ス < セ$ より、$ス = 1$, $セ = 2$ となる。そして、$ソ = 2$, $タ = 1$ となる。

3. 最終的な答え

ス = 1

セ = 2

ソ = 2

タ = 1