3次方程式 $2t^3 - t^2 - 1 = 0$ を解き、$t$ の値を求めます。

1. 問題の内容

3次方程式 $2t^3 - t^2 - 1 = 0$ を解き、$t$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$t$ が整数の解を持つかどうかを調べます。整数の解の候補は定数項の約数であるため、$\pm 1$ を試してみます。

$t = 1$ のとき:

$2(1)^3 - (1)^2 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0$

したがって、$t = 1$ は解の一つです。

次に、$2t^3 - t^2 - 1$ を $(t - 1)$ で割ります。

```

2t^2 + t + 1

t - 1 | 2t^3 - t^2 + 0t - 1

-(2t^3 - 2t^2)

-----------------

t^2 + 0t

-(t^2 - t)

-----------------

t - 1

-(t - 1)

-----------------

0

```

したがって、$2t^3 - t^2 - 1 = (t - 1)(2t^2 + t + 1)$ と因数分解できます。

次に、$2t^2 + t + 1 = 0$ を解きます。これは2次方程式なので、解の公式を使います。

$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 2, b = 1, c = 1$ なので、

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(1)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 8}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{4} = \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{4}$

3. 最終的な答え

実数解は $t = 1$

複素数解は $t = \frac{-1 + i\sqrt{7}}{4}, \frac{-1 - i\sqrt{7}}{4}$

まとめると、$t = 1, \frac{-1 + i\sqrt{7}}{4}, \frac{-1 - i\sqrt{7}}{4}$