関数 $f(x) = 2x + 3$ と $g(x) = x^2 + x + 1$ が与えられています。以下の合成関数について、式で表し、全射か単射かを判定します。 (1) $f \circ g$ (2) $g \circ f$ (3) $f^2 = f \circ f$ (4) $g^2 = g \circ g$

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x + 3$ と $g(x) = x^2 + x + 1$ が与えられています。以下の合成関数について、式で表し、全射か単射かを判定します。

(1) $f \circ g$

(2) $g \circ f$

(3) $f^2 = f \circ f$

(4) $g^2 = g \circ g$

2. 解き方の手順

(1) $f \circ g(x) = f(g(x))$ を計算します。

$g(x)$ を $f(x)$ に代入します。

全射かどうか、単射かどうかを判定します。

(2) $g \circ f(x) = g(f(x))$ を計算します。

$f(x)$ を $g(x)$ に代入します。

全射かどうか、単射かどうかを判定します。

(3) $f^2(x) = f(f(x))$ を計算します。

$f(x)$ を $f(x)$ に代入します。

全射かどうか、単射かどうかを判定します。

(4) $g^2(x) = g(g(x))$ を計算します。

$g(x)$ を $g(x)$ に代入します。

全射かどうか、単射かどうかを判定します。

(1)

$f \circ g(x) = f(g(x)) = f(x^2 + x + 1) = 2(x^2 + x + 1) + 3 = 2x^2 + 2x + 2 + 3 = 2x^2 + 2x + 5$

$f \circ g(x) = 2x^2 + 2x + 5$

$2x^2 + 2x + 5 = 2(x^2 + x) + 5 = 2(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 5 = 2(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{9}{2} \geq \frac{9}{2}$

よって、値域は $[\frac{9}{2}, \infty)$ となり、実数全体ではないため、全射ではありません。

$x = 0$ のとき $f \circ g(0) = 5$ であり、$x = -1$ のとき $f \circ g(-1) = 2(-1)^2 + 2(-1) + 5 = 2 - 2 + 5 = 5$ であるため、異なる $x$ の値に対して同じ値を取るので、単射ではありません。

(2)

$g \circ f(x) = g(f(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)^2 + (2x + 3) + 1 = 4x^2 + 12x + 9 + 2x + 3 + 1 = 4x^2 + 14x + 13$

$g \circ f(x) = 4x^2 + 14x + 13$

$4x^2 + 14x + 13 = 4(x^2 + \frac{7}{2}x) + 13 = 4(x + \frac{7}{4})^2 - 4 \cdot \frac{49}{16} + 13 = 4(x + \frac{7}{4})^2 - \frac{49}{4} + \frac{52}{4} = 4(x + \frac{7}{4})^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$

よって、値域は $[\frac{3}{4}, \infty)$ となり、実数全体ではないため、全射ではありません。

$x = 0$ のとき $g \circ f(0) = 13$ であり、$x = -\frac{7}{2}$ のとき $g \circ f(-\frac{7}{2}) = 4(-\frac{7}{2})^2 + 14(-\frac{7}{2}) + 13 = 4 \cdot \frac{49}{4} - 49 + 13 = 49 - 49 + 13 = 13$ となるが、$0 \neq -\frac{7}{2}$ なので、この場合は反例になりません。

しかし、$x_1 = -\frac{7}{4} + a$ と $x_2 = -\frac{7}{4} - a$ を考えると、

$g \circ f(x_1) = 4(-\frac{7}{4} + a + \frac{7}{4})^2 + \frac{3}{4} = 4a^2 + \frac{3}{4}$

$g \circ f(x_2) = 4(-\frac{7}{4} - a + \frac{7}{4})^2 + \frac{3}{4} = 4(-a)^2 + \frac{3}{4} = 4a^2 + \frac{3}{4}$

異なる $x$ の値に対して同じ値を取るので、単射ではありません。

(3)

$f^2(x) = f(f(x)) = f(2x + 3) = 2(2x + 3) + 3 = 4x + 6 + 3 = 4x + 9$

$f^2(x) = 4x + 9$

$y = 4x + 9$ とすると、$x = \frac{y - 9}{4}$ となり、任意の実数 $y$ に対して $x$ が存在するため、全射です。

$4x_1 + 9 = 4x_2 + 9$ ならば $4x_1 = 4x_2$ より $x_1 = x_2$ なので、単射です。

(4)

$g^2(x) = g(g(x)) = g(x^2 + x + 1) = (x^2 + x + 1)^2 + (x^2 + x + 1) + 1 = (x^4 + x^2 + 1 + 2x^3 + 2x^2 + 2x) + x^2 + x + 1 + 1 = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x + 3$

$g^2(x) = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x + 3$

$g^2(x) = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x + 3$

$x = 0$ のとき $g^2(0) = 3$

$x = -1$ のとき $g^2(-1) = 1 - 2 + 4 - 3 + 3 = 3$

異なる $x$ の値に対して同じ値を取るので、単射ではありません。

$x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x + 3 = (x^2 + x)^2 + 3(x^2 + x) + 3 = (x^2 + x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 3 = (x^2 + x + \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$

よって、値域は $[\frac{3}{4}, \infty)$ となり、実数全体ではないため、全射ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $f \circ g(x) = 2x^2 + 2x + 5$、全射ではない、単射ではない

(2) $g \circ f(x) = 4x^2 + 14x + 13$、全射ではない、単射ではない

(3) $f^2(x) = 4x + 9$、全射である、単射である

(4) $g^2(x) = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x + 3$、全射ではない、単射ではない