(1) 等比数列 $\{a_n\}$ において、$a_3 = 4$、$a_5 = 16$ が与えられているとき、初項と公比を求め、$\sum_{k=1}^n a_k$ を求める。 (2) 数列 $\{b_n\}$ において、$b_1 = 1$、$b_{n+1} = 3b_n + 2$ が与えられているとき、$b_{n+1} + \text{カ} = \text{キ}(b_n + \text{カ})$ の形に変形し、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。 (3) 数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ を(1)、(2)で定めたものとし、$a_n$を3で割ったときの余りを$c_n$とし、$d_n = b_n c_n$とする。$d_1, d_2, d_3, d_4$を求め、$\sum_{k=1}^n d_k$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 等比数列 $\{a_n\}$ において、$a_3 = 4$、$a_5 = 16$ が与えられているとき、初項と公比を求め、$\sum_{k=1}^n a_k$ を求める。

(2) 数列 $\{b_n\}$ において、$b_1 = 1$、$b_{n+1} = 3b_n + 2$ が与えられているとき、$b_{n+1} + \text{カ} = \text{キ}(b_n + \text{カ})$ の形に変形し、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

(3) 数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ を(1)、(2)で定めたものとし、$a_n$を3で割ったときの余りを$c_n$とし、$d_n = b_n c_n$とする。$d_1, d_2, d_3, d_4$を求め、$\sum_{k=1}^n d_k$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$a_n$は等比数列なので、$a_n = ar^{n-1}$と表せる。ここで、$a$は初項、$r$は公比である。

$a_3 = ar^2 = 4$

$a_5 = ar^4 = 16$

これらの式から、$r^2 = \frac{16}{4} = 4$。公比は正なので、$r = 2$。

$a \cdot 2^2 = 4$ より、$a = 1$。

よって、初項は1、公比は2。

$\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n 2^{k-1} = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} = 2^n - 1$。

(2)

$b_{n+1} = 3b_n + 2$ を変形する。

$b_{n+1} + \alpha = 3(b_n + \alpha)$ となるように$\alpha$を定める。

$b_{n+1} = 3b_n + 3\alpha - \alpha = 3b_n + 2\alpha$

よって、$2\alpha = 2$ より $\alpha = 1$。

$b_{n+1} + 1 = 3(b_n + 1)$

数列 $\{b_n + 1\}$ は初項 $b_1 + 1 = 1 + 1 = 2$、公比 $3$ の等比数列である。

$b_n + 1 = 2 \cdot 3^{n-1}$

$b_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 1$

(3)

$a_n = 2^{n-1}$

$b_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 1$

$d_n = b_n c_n$

$a_1 = 1$, $c_1 = 1$, $b_1 = 1$, $d_1 = 1 \cdot 1 = 1$

$a_2 = 2$, $c_2 = 2$, $b_2 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$, $d_2 = 5 \cdot 2 = 10$

$a_3 = 4$, $c_3 = 1$, $b_3 = 2 \cdot 9 - 1 = 17$, $d_3 = 17 \cdot 1 = 17$

$a_4 = 8$, $c_4 = 2$, $b_4 = 2 \cdot 27 - 1 = 53$, $d_4 = 53 \cdot 2 = 106$

$\sum_{k=1}^n d_k = \sum_{k=1}^n (2\cdot3^{k-1} - 1) c_k$

$d_n = (2\cdot3^{n-1}-1) c_n$

$c_n$ の周期性を考える。

$a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 4, a_4 = 8, a_5 = 16, a_6 = 32, a_7 = 64, a_8 = 128$

$c_1 = 1, c_2 = 2, c_3 = 1, c_4 = 2, c_5 = 1, c_6 = 2, c_7 = 1, c_8 = 2$

$c_n = 1 (n:奇数), c_n = 2 (n:偶数)$

$\sum_{k=1}^n d_k = \sum_{k=1}^n (2 \cdot 3^{k-1} - 1) c_k = \sum_{k=1, k:odd}^n (2 \cdot 3^{k-1} - 1) + \sum_{k=1, k:even}^n 2(2 \cdot 3^{k-1} - 1) = \sum_{k=1, k:odd}^n (2 \cdot 3^{k-1} - 1) + \sum_{k=1, k:even}^n (4 \cdot 3^{k-1} - 2)$

$= \sum_{k=1}^n 3^{k-1} + \sum_{k=1, k:odd}^n 3^{k-1}$

$d_n = b_n c_n$ の値は、$d_1 = 1, d_2 = 10, d_3 = 17, d_4 = 106$である。

$\sum_{k=1}^n d_k = \frac{9 \cdot 3^n - n - 9 }{2}$

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 2

ウ: 2

エ: n

オ: -1

カ: 1

キ: 3

ク: 2

ケ: 2

コ: 3

サ: n-1

シ: -1

ス: 1

セソ: 10

タチ: 17

ツテト: 106

ナ: 9

ヌ: 3^n

ネ: -n

ノ: -9

ハ: 2