複素数の計算問題です。 (1) $2i+3i$ (2) $(1+i)^2$ (3) $\frac{2-i}{3+i}$ をそれぞれ計算します。

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。

(1) $2i+3i$

(2) $(1+i)^2$

(3) $\frac{2-i}{3+i}$

をそれぞれ計算します。

2. 解き方の手順

(1) $2i+3i$ は、同類項をまとめるように計算します。

(2) $(1+i)^2$ は、二項定理または展開公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を使って展開します。$i^2 = -1$ であることに注意します。

(3) $\frac{2-i}{3+i}$ は、分母の共役複素数を分母分子に掛けて分母を実数化します。分母の共役複素数は $3-i$ です。

(1)

$2i+3i = (2+3)i = 5i$

(2)

$(1+i)^2 = 1^2 + 2(1)(i) + i^2 = 1 + 2i + (-1) = 2i$

(3)

$\frac{2-i}{3+i} = \frac{(2-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{6 - 2i - 3i + i^2}{9 - i^2} = \frac{6 - 5i - 1}{9 - (-1)} = \frac{5 - 5i}{10} = \frac{5}{10} - \frac{5}{10}i = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

3. 最終的な答え

(1) $5i$

(2) $2i$

(3) $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$