校舎の壁を利用して長方形の資材置き場を作る。用意された金網は40mであり、校舎の壁には金網は不要である。 (1) 資材置き場の面積 $y$ を、校舎の壁と垂直な辺の長さ $x$ の式で表す。 (2) 資材置き場の面積を最大にするための、校舎の壁と垂直な辺の長さを求める。ただし、校舎の壁は40m以上続くとする。

1. 問題の内容

校舎の壁を利用して長方形の資材置き場を作る。用意された金網は40mであり、校舎の壁には金網は不要である。

(1) 資材置き場の面積 $y$ を、校舎の壁と垂直な辺の長さ $x$ の式で表す。

(2) 資材置き場の面積を最大にするための、校舎の壁と垂直な辺の長さを求める。ただし、校舎の壁は40m以上続くとする。

2. 解き方の手順

(1)

校舎の壁と垂直な辺の長さを $x$ とすると、もう一方の辺の長さは $40 - 2x$ となる。したがって、資材置き場の面積 $y$ は、$x$ を用いて次のように表せる。

$y = x(40 - 2x)$

$y = 40x - 2x^2$

(2)

資材置き場の面積 $y$ を最大にする $x$ の値を求める。$y$ を $x$ について平方完成する。

$y = -2x^2 + 40x$

$y = -2(x^2 - 20x)$

$y = -2(x^2 - 20x + 100 - 100)$

$y = -2((x - 10)^2 - 100)$

$y = -2(x - 10)^2 + 200$

$x = 10$ のとき、$y$ は最大値200を取る。

校舎の壁の長さは、$40 - 2x = 40 - 2(10) = 20$ となり、40m以下なので条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 + 40x$

(2) 10m