(1) 次の指数方程式を解く。 ① $8^x = 4$ ② $4^x = \frac{1}{32}$ ③ $27^x = 3^{2-x}$ (2) 次の指数不等式を解く。 ① $3^x \geq 81$ ② $(\frac{1}{3})^{x+1} \leq (\frac{1}{9})^x$ ③ $2^{3x-6} < (\frac{1}{8})^x$

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 次の指数方程式を解く。

① $8^x = 4$

② $4^x = \frac{1}{32}$

③ $27^x = 3^{2-x}$

(2) 次の指数不等式を解く。

① $3^x \geq 81$

② $(\frac{1}{3})^{x+1} \leq (\frac{1}{9})^x$

③ $2^{3x-6} < (\frac{1}{8})^x$

2. 解き方の手順

(1) 指数方程式

① $8^x = 4$

$8 = 2^3$, $4 = 2^2$ なので、

$(2^3)^x = 2^2$

$2^{3x} = 2^2$

よって、$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$

② $4^x = \frac{1}{32}$

$4 = 2^2$, $\frac{1}{32} = 2^{-5}$ なので、

$(2^2)^x = 2^{-5}$

$2^{2x} = 2^{-5}$

よって、$2x = -5$

$x = -\frac{5}{2}$

③ $27^x = 3^{2-x}$

$27 = 3^3$ なので、

$(3^3)^x = 3^{2-x}$

$3^{3x} = 3^{2-x}$

よって、$3x = 2 - x$

$4x = 2$

$x = \frac{1}{2}$

(2) 指数不等式

① $3^x \geq 81$

$81 = 3^4$ なので、

$3^x \geq 3^4$

よって、$x \geq 4$

② $(\frac{1}{3})^{x+1} \leq (\frac{1}{9})^x$

$\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$ なので、

$(\frac{1}{3})^{x+1} \leq ((\frac{1}{3})^2)^x$

$(\frac{1}{3})^{x+1} \leq (\frac{1}{3})^{2x}$

底が1より小さいので、指数の大小関係が逆になる。

$x+1 \geq 2x$

$1 \geq x$

よって、$x \leq 1$

③ $2^{3x-6} < (\frac{1}{8})^x$

$\frac{1}{8} = 2^{-3}$ なので、

$2^{3x-6} < (2^{-3})^x$

$2^{3x-6} < 2^{-3x}$

よって、$3x-6 < -3x$

$6x < 6$

$x < 1$

3. 最終的な答え

(1)

① $x = \frac{2}{3}$

② $x = -\frac{5}{2}$

③ $x = \frac{1}{2}$

(2)

① $x \geq 4$

② $x \leq 1$

③ $x < 1$