一の位が3である2桁の整数について、十の位と一の位を入れ替えた整数の2倍が、元の整数よりも小さいという条件を満たす整数を全て求める。

1. 問題の内容

一の位が3である2桁の整数について、十の位と一の位を入れ替えた整数の2倍が、元の整数よりも小さいという条件を満たす整数を全て求める。

2. 解き方の手順

まず、2桁の整数を$10x + 3$と表す。ここで、$x$は十の位の数字であり、1から9までの整数である。次に、十の位と一の位を入れ替えた整数は$30 + x$となる。問題文の条件より、

$2(30 + x) < 10x + 3$

という不等式が成り立つ。この不等式を解く。

$60 + 2x < 10x + 3$

$57 < 8x$

$x > \frac{57}{8} = 7.125$

$x$は整数なので、$x \ge 8$となる。

$x$は9以下の整数なので、$x = 8$ または $x = 9$。

したがって、元の整数は$10 \times 8 + 3 = 83$または$10 \times 9 + 3 = 93$である。

確認する。

$x=8$の場合、$10x+3 = 83$、入れ替えた整数は$38$。$2 \times 38 = 76 < 83$なので、条件を満たす。

$x=9$の場合、$10x+3 = 93$、入れ替えた整数は$39$。$2 \times 39 = 78 < 93$なので、条件を満たす。

3. 最終的な答え

83, 93