2次方程式 $x^2 - x - 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、次の2つの数を解とする2次方程式をそれぞれ求めます。 (1) $2\alpha, 2\beta$ (2) $\alpha^2, \beta^2$ (3) $\alpha+1, \beta+1$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - x - 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、次の2つの数を解とする2次方程式をそれぞれ求めます。

(1) $2\alpha, 2\beta$

(2) $\alpha^2, \beta^2$

(3) $\alpha+1, \beta+1$

2. 解き方の手順

元の2次方程式 $x^2 - x - 5 = 0$ について、解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = 1$$

$$\alpha \beta = -5$$

が成り立ちます。

これを利用して、各場合について、求める2次方程式の解の和と積を求め、2次方程式を構成します。一般に、2つの解を $\gamma, \delta$ とする2次方程式は、

$x^2 - (\gamma + \delta)x + \gamma \delta = 0$ で表されます。

(1) 解が $2\alpha, 2\beta$ のとき

解の和は $2\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta) = 2(1) = 2$

解の積は $(2\alpha)(2\beta) = 4\alpha\beta = 4(-5) = -20$

よって、求める2次方程式は

$x^2 - 2x - 20 = 0$

(2) 解が $\alpha^2, \beta^2$ のとき

解の和は $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 1^2 - 2(-5) = 1 + 10 = 11$

解の積は $\alpha^2 \beta^2 = (\alpha\beta)^2 = (-5)^2 = 25$

よって、求める2次方程式は

$x^2 - 11x + 25 = 0$

(3) 解が $\alpha+1, \beta+1$ のとき

解の和は $(\alpha+1) + (\beta+1) = \alpha + \beta + 2 = 1 + 2 = 3$

解の積は $(\alpha+1)(\beta+1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = -5 + 1 + 1 = -3$

よって、求める2次方程式は

$x^2 - 3x - 3 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 2x - 20 = 0$

(2) $x^2 - 11x + 25 = 0$

(3) $x^2 - 3x - 3 = 0$