2次方程式 $x^2 - x - 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、次の2つの数を解とする2次方程式をそれぞれ求めます。 (1) $2\alpha, 2\beta$ (2) $\alpha^2, \beta^2$ (3) $\alpha+1, \beta+1$

代数学二次方程式解と係数の関係解の和解の積
2025/7/9

1. 問題の内容

2次方程式 x2x5=0x^2 - x - 5 = 0 の2つの解を α,β\alpha, \beta とするとき、次の2つの数を解とする2次方程式をそれぞれ求めます。
(1) 2α,2β2\alpha, 2\beta
(2) α2,β2\alpha^2, \beta^2
(3) α+1,β+1\alpha+1, \beta+1

2. 解き方の手順

元の2次方程式 x2x5=0x^2 - x - 5 = 0 について、解と係数の関係より、
α+β=1 \alpha + \beta = 1
αβ=5 \alpha \beta = -5
が成り立ちます。
これを利用して、各場合について、求める2次方程式の解の和と積を求め、2次方程式を構成します。一般に、2つの解を γ,δ\gamma, \delta とする2次方程式は、
x2(γ+δ)x+γδ=0x^2 - (\gamma + \delta)x + \gamma \delta = 0 で表されます。
(1) 解が 2α,2β2\alpha, 2\beta のとき
解の和は 2α+2β=2(α+β)=2(1)=22\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta) = 2(1) = 2
解の積は (2α)(2β)=4αβ=4(5)=20(2\alpha)(2\beta) = 4\alpha\beta = 4(-5) = -20
よって、求める2次方程式は
x22x20=0x^2 - 2x - 20 = 0
(2) 解が α2,β2\alpha^2, \beta^2 のとき
解の和は α2+β2=(α+β)22αβ=122(5)=1+10=11\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 1^2 - 2(-5) = 1 + 10 = 11
解の積は α2β2=(αβ)2=(5)2=25\alpha^2 \beta^2 = (\alpha\beta)^2 = (-5)^2 = 25
よって、求める2次方程式は
x211x+25=0x^2 - 11x + 25 = 0
(3) 解が α+1,β+1\alpha+1, \beta+1 のとき
解の和は (α+1)+(β+1)=α+β+2=1+2=3(\alpha+1) + (\beta+1) = \alpha + \beta + 2 = 1 + 2 = 3
解の積は (α+1)(β+1)=αβ+α+β+1=5+1+1=3(\alpha+1)(\beta+1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = -5 + 1 + 1 = -3
よって、求める2次方程式は
x23x3=0x^2 - 3x - 3 = 0

3. 最終的な答え

(1) x22x20=0x^2 - 2x - 20 = 0
(2) x211x+25=0x^2 - 11x + 25 = 0
(3) x23x3=0x^2 - 3x - 3 = 0

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